Oblicz granicę funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Oblicz granicę funkcji
Witam, dana jest taka granica funkcji: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\left(x- \sqrt{x^{2}-3x+1}\right)}\).
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\left( x- \sqrt{x^{2}\left(1- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) } \right)\\
\lim_{x\to-\infty}\left( x- \sqrt{x^{2}} \right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left( x-|x|\right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left( x+x\right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left(2x\right) =-\infty}\)
Odpowiedź jest poprawna, moje pytanie: czy rozwiązanie także?
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\left( x- \sqrt{x^{2}\left(1- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) } \right)\\
\lim_{x\to-\infty}\left( x- \sqrt{x^{2}} \right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left( x-|x|\right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left( x+x\right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left(2x\right) =-\infty}\)
Odpowiedź jest poprawna, moje pytanie: czy rozwiązanie także?
Re: Oblicz granicę funkcji
Nie trzeba tu żadnego liczenia. Przecież \(x\to-\infty\), a \(\sqrt{x^2-3x+1}\to+\infty\), a więc masz \(-\infty-\infty=-\infty\). Ciekawiej byłoby, gdyby zamiast minusa w środku napisać plus. Wtedy granicą jest \(3\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Pytasz czy rozwiązanie jest poprawne?
Otóż nie przedstawiłeś żadnego rozwiązania. To, co napisałeś to kilka wzorków, między którymi nie ma żadnego powiązania. Brak komentarzy dyskwalifikuje takie "rozwiązanie"
Otóż nie przedstawiłeś żadnego rozwiązania. To, co napisałeś to kilka wzorków, między którymi nie ma żadnego powiązania. Brak komentarzy dyskwalifikuje takie "rozwiązanie"
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
No właśnie - obliczyłem granicę z plusem w środku tym samym sposobem i wyszło mi 0. Dlaczego granica jest równa 3?
Dodano po 2 minutach 18 sekundach:
Załóżmy zatem, że napisałem, iż \(\displaystyle{ \frac{3}{x}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) dążą do zera. Czy teraz jest okej?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Nie. To tak jakbyś w znanej granicy \(\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n}\) pominął składnik \(\displaystyle{ \frac1n}\) (bo przecież dąży do zera).
Po prostu takich rzeczy nie wolno robić, bo prowadzą do błędów
Przekonałeś się o tym licząc błędnie granicę z + zamiast -
Po prostu takich rzeczy nie wolno robić, bo prowadzą do błędów
Przekonałeś się o tym licząc błędnie granicę z + zamiast -
Re: Oblicz granicę funkcji
Może zmienię kwalifikację na nie powinno się robić.a4karo pisze: ↑28 lis 2021, o 12:04 Nie. To tak jakbyś w znanej granicy \(\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n}\) pominął składnik \(\displaystyle{ \frac1n}\) (bo przecież dąży do zera).
Po prostu takich rzeczy nie wolno robić, bo prowadzą do błędów
Przekonałeś się o tym licząc błędnie granicę z + zamiast -
Funkcje \(f(x)=x-\sqrt{x^2-3x+1}\) oraz \(g(x)=x-|x|\) mają w \(-\infty\) tę samą granicę. Co prawda \(f\ne g\), ale\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}g(x).\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Nie. Nie można.
To, że w tym przypadku dostaniemy taki sam wynik nie zmienia faktu, że rozumowanie, które do tego wyniku doprowadziło jest niepoprawne.
Widać to jasno w tym, co napisał autor posta powyżej: zastosował ten sam "sposób" do granicy `x+\sqrt{x^2-3x+1}` i dostał `0`.
Usprawiedliwianie tego rodzaju błędów argumentem, że tu akurat wyszło jest przede wszystkim błędem dydaktycznym. A jak wiadomo, w matematyce ocenia się sposób rozumowania, a nie wynik.
Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
@IceMajor2
Prawdą jest, że `1/x` dąży do zera. Ale powinieneś zauważyć, że to wyrażenie mnoży się przez `x` i po takiej operacji już przestaje być małe....
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Teraz rozumiem, ale przyznam, że nadal nie wiem, jak to dokończyć posiadając tą postać: \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}\left(x+ \sqrt{x^{2}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) } \right)}\)a4karo pisze: ↑28 lis 2021, o 12:49
Nie. Nie można.
To, że w tym przypadku dostaniemy taki sam wynik nie zmienia faktu, że rozumowanie, które do tego wyniku doprowadziło jest niepoprawne.
Widać to jasno w tym, co napisał autor posta powyżej: zastosował ten sam "sposób" do granicy `x+\sqrt{x^2-3x+1}` i dostał `0`.
Usprawiedliwianie tego rodzaju błędów argumentem, że tu akurat wyszło jest przede wszystkim błędem dydaktycznym. A jak wiadomo, w matematyce ocenia się sposób rozumowania, a nie wynik.
Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
@IceMajor2
Prawdą jest, że `1/x` dąży do zera. Ale powinieneś zauważyć, że to wyrażenie mnoży się przez `x` i po takiej operacji już przestaje być małe....
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Może jednak nie rozumiem, bo \(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}= \lim_{ x\to+\infty } \frac{3x^{3}}{x^{3}}=3}\).a4karo pisze: ↑28 lis 2021, o 12:49
Nie. Nie można.
To, że w tym przypadku dostaniemy taki sam wynik nie zmienia faktu, że rozumowanie, które do tego wyniku doprowadziło jest niepoprawne.
Widać to jasno w tym, co napisał autor posta powyżej: zastosował ten sam "sposób" do granicy `x+\sqrt{x^2-3x+1}` i dostał `0`.
Usprawiedliwianie tego rodzaju błędów argumentem, że tu akurat wyszło jest przede wszystkim błędem dydaktycznym. A jak wiadomo, w matematyce ocenia się sposób rozumowania, a nie wynik.
Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
@IceMajor2
Prawdą jest, że `1/x` dąży do zera. Ale powinieneś zauważyć, że to wyrażenie mnoży się przez `x` i po takiej operacji już przestaje być małe....
Czyli pomimo tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}}}\) były pomnożone przez \(\displaystyle{ x^{3}}\), to mogłem wykonać skrócenie, więc to chyba chodzi jednak o potęgę, a nie o mnożenie, tak?
No dobrze, ale teraz w mianowniku mam ten pierwiastek, więc wychodzi na to samo.
Dodano po 4 minutach 51 sekundach:
Aha, dobra... widzę - \(\displaystyle{ x}\) się skróci i nie będzie mnożenia z pierwiastkiem...
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Wykonałeś "skrócenie" i wyszedł Ci poprawny wynik. Ale nie uzasadnisz tego postępowania korzystając ze znanych twierdzeń analizy matematycznej.IceMajor2 pisze: ↑28 lis 2021, o 13:48
Może jednak nie rozumiem, bo \(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}= \lim_{ x\to+\infty } \frac{3x^{3}}{x^{3}}=3}\).
Czyli pomimo tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}}}\) były pomnożone przez \(\displaystyle{ x^{3}}\), to mogłem wykonać skrócenie, więc to chyba chodzi jednak o potęgę, a nie o mnożenie, tak?
Ten przykład, oraz te poprzedni z pierwiastkiem pokazują, że raz takie działanie da poprawny wynik, a raz nie. A to oznacza, że nie jest to działanie poprawne bez dodatkowych założeń. Ty takich założeń nie uczyniłeś, więc trudno uznać to rozumowanie za poprawne
Prawidłowe rozwiązanie tego przykładu jest takie :
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\left(3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=3}\).
Pierwsze dwie równości to wynik przekształceń algebraicznych, a ostatnie wynika w twierdzeń o sumie oraz ilorazie granic.
Przypuśćmy, że masz do obliczenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)}\)
Twoim "sposobem" będzie tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)=\lim_{x\to\infty} x^2-x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)\red{=} \lim_{x\to\infty} x^2-x^2=0}\) (bo ono po prostu jest równe `3`).
a przecież wiesz, że granicą tego wyrażenie jest `3`
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Tak, tak. Rozumowałem tak jak napisałeś, ale zrobiłem błąd nie rozpisując tego tutaj, na forum, więc słusznie wywnioskowałeś, że "skróciłem".a4karo pisze: ↑28 lis 2021, o 14:20Wykonałeś "skrócenie" i wyszedł Ci poprawny wynik. Ale nie uzasadnisz tego postępowania korzystając ze znanych twierdzeń analizy matematycznej.IceMajor2 pisze: ↑28 lis 2021, o 13:48
Może jednak nie rozumiem, bo \(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}= \lim_{ x\to+\infty } \frac{3x^{3}}{x^{3}}=3}\).
Czyli pomimo tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}}}\) były pomnożone przez \(\displaystyle{ x^{3}}\), to mogłem wykonać skrócenie, więc to chyba chodzi jednak o potęgę, a nie o mnożenie, tak?
Ten przykład, oraz te poprzedni z pierwiastkiem pokazują, że raz takie działanie da poprawny wynik, a raz nie. A to oznacza, że nie jest to działanie poprawne bez dodatkowych założeń. Ty takich założeń nie uczyniłeś, więc trudno uznać to rozumowanie za poprawne
Prawidłowe rozwiązanie tego przykładu jest takie :
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\left(3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=3}\).
Pierwsze dwie równości to wynik przekształceń algebraicznych, a ostatnie wynika w twierdzeń o sumie oraz ilorazie granic.
Przypuśćmy, że masz do obliczenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)}\)
Twoim "sposobem" będzie tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)=\lim_{x\to\infty} x^2-x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)\red{=} \lim_{x\to\infty} x^2-x^2=0}\) (bo ono po prostu jest równe `3`).
a przecież wiesz, że granicą tego wyrażenie jest `3`