Oblicz granicę funkcji

[IceMajor2]

Witam, dana jest taka granica funkcji: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\left(x- \sqrt{x^{2}-3x+1}\right)}\).
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\left( x- \sqrt{x^{2}\left(1- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) } \right)\\
\lim_{x\to-\infty}\left( x- \sqrt{x^{2}} \right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left( x-|x|\right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left( x+x\right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left(2x\right) =-\infty}\)
Odpowiedź jest poprawna, moje pytanie: czy rozwiązanie także?

[szw1710]

Nie trzeba tu żadnego liczenia. Przecież \(x\to-\infty\), a \(\sqrt{x^2-3x+1}\to+\infty\), a więc masz \(-\infty-\infty=-\infty\). Ciekawiej byłoby, gdyby zamiast minusa w środku napisać plus. Wtedy granicą jest \(3\).

[a4karo]

Pytasz czy rozwiązanie jest poprawne?
Otóż nie przedstawiłeś żadnego rozwiązania. To, co napisałeś to kilka wzorków, między którymi nie ma żadnego powiązania. Brak komentarzy dyskwalifikuje takie "rozwiązanie"

[IceMajor2]

Nie trzeba tu żadnego liczenia. Przecież \(x\to-\infty\), a \(\sqrt{x^2-3x+1}\to+\infty\), a więc masz \(-\infty-\infty=-\infty\). Ciekawiej byłoby, gdyby zamiast minusa w środku napisać plus. Wtedy granicą jest \(3\).

No właśnie - obliczyłem granicę z plusem w środku tym samym sposobem i wyszło mi 0. Dlaczego granica jest równa 3?

Dodano po 2 minutach 18 sekundach:

Pytasz czy rozwiązanie jest poprawne?
Otóż nie przedstawiłeś żadnego rozwiązania. To, co napisałeś to kilka wzorków, między którymi nie ma żadnego powiązania. Brak komentarzy dyskwalifikuje takie "rozwiązanie"

Załóżmy zatem, że napisałem, iż \(\displaystyle{ \frac{3}{x}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) dążą do zera. Czy teraz jest okej?

[a4karo]

Nie. To tak jakbyś w znanej granicy \(\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n}\) pominął składnik \(\displaystyle{ \frac1n}\) (bo przecież dąży do zera).

Po prostu takich rzeczy nie wolno robić, bo prowadzą do błędów
Przekonałeś się o tym licząc błędnie granicę z + zamiast -

[szw1710]

Nie. To tak jakbyś w znanej granicy \(\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n}\) pominął składnik \(\displaystyle{ \frac1n}\) (bo przecież dąży do zera).

Po prostu takich rzeczy nie wolno robić, bo prowadzą do błędów
Przekonałeś się o tym licząc błędnie granicę z + zamiast -

Może zmienię kwalifikację na nie powinno się robić.

Funkcje \(f(x)=x-\sqrt{x^2-3x+1}\) oraz \(g(x)=x-|x|\) mają w \(-\infty\) tę samą granicę. Co prawda \(f\ne g\), ale\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}g(x).\)

[a4karo]

Może zmienię kwalifikację na nie powinno się robić.

Funkcje \(f(x)=x-\sqrt{x^2-3x+1}\) oraz \(g(x)=x-|x|\) mają w \(-\infty\) tę samą granicę. Co prawda \(f\ne g\), ale\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}g(x).\)

Nie. Nie można.
To, że w tym przypadku dostaniemy taki sam wynik nie zmienia faktu, że rozumowanie, które do tego wyniku doprowadziło jest niepoprawne.
Widać to jasno w tym, co napisał autor posta powyżej: zastosował ten sam "sposób" do granicy `x+\sqrt{x^2-3x+1}` i dostał `0`.

Usprawiedliwianie tego rodzaju błędów argumentem, że tu akurat wyszło jest przede wszystkim błędem dydaktycznym. A jak wiadomo, w matematyce ocenia się sposób rozumowania, a nie wynik.

Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
@IceMajor2

Prawdą jest, że `1/x` dąży do zera. Ale powinieneś zauważyć, że to wyrażenie mnoży się przez `x` i po takiej operacji już przestaje być małe....

[IceMajor2]

Może zmienię kwalifikację na nie powinno się robić.

Funkcje \(f(x)=x-\sqrt{x^2-3x+1}\) oraz \(g(x)=x-|x|\) mają w \(-\infty\) tę samą granicę. Co prawda \(f\ne g\), ale\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}g(x).\)

Nie. Nie można.
To, że w tym przypadku dostaniemy taki sam wynik nie zmienia faktu, że rozumowanie, które do tego wyniku doprowadziło jest niepoprawne.
Widać to jasno w tym, co napisał autor posta powyżej: zastosował ten sam "sposób" do granicy `x+\sqrt{x^2-3x+1}` i dostał `0`.

Usprawiedliwianie tego rodzaju błędów argumentem, że tu akurat wyszło jest przede wszystkim błędem dydaktycznym. A jak wiadomo, w matematyce ocenia się sposób rozumowania, a nie wynik.

Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
@IceMajor2

Prawdą jest, że `1/x` dąży do zera. Ale powinieneś zauważyć, że to wyrażenie mnoży się przez `x` i po takiej operacji już przestaje być małe....

Teraz rozumiem, ale przyznam, że nadal nie wiem, jak to dokończyć posiadając tą postać: \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}\left(x+ \sqrt{x^{2}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) } \right)}\)

[szw1710]

Pomnóż i podziel przez różnicę.

[IceMajor2]

Może zmienię kwalifikację na nie powinno się robić.

Funkcje \(f(x)=x-\sqrt{x^2-3x+1}\) oraz \(g(x)=x-|x|\) mają w \(-\infty\) tę samą granicę. Co prawda \(f\ne g\), ale\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}g(x).\)

Nie. Nie można.
To, że w tym przypadku dostaniemy taki sam wynik nie zmienia faktu, że rozumowanie, które do tego wyniku doprowadziło jest niepoprawne.
Widać to jasno w tym, co napisał autor posta powyżej: zastosował ten sam "sposób" do granicy `x+\sqrt{x^2-3x+1}` i dostał `0`.

Usprawiedliwianie tego rodzaju błędów argumentem, że tu akurat wyszło jest przede wszystkim błędem dydaktycznym. A jak wiadomo, w matematyce ocenia się sposób rozumowania, a nie wynik.

Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
@IceMajor2

Prawdą jest, że `1/x` dąży do zera. Ale powinieneś zauważyć, że to wyrażenie mnoży się przez `x` i po takiej operacji już przestaje być małe....

Może jednak nie rozumiem, bo \(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}= \lim_{ x\to+\infty } \frac{3x^{3}}{x^{3}}=3}\).

Czyli pomimo tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}}}\) były pomnożone przez \(\displaystyle{ x^{3}}\), to mogłem wykonać skrócenie, więc to chyba chodzi jednak o potęgę, a nie o mnożenie, tak?

Pomnóż i podziel przez różnicę.

No dobrze, ale teraz w mianowniku mam ten pierwiastek, więc wychodzi na to samo.

Dodano po 4 minutach 51 sekundach:
Aha, dobra... widzę - \(\displaystyle{ x}\) się skróci i nie będzie mnożenia z pierwiastkiem...

[a4karo]

Może jednak nie rozumiem, bo \(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}= \lim_{ x\to+\infty } \frac{3x^{3}}{x^{3}}=3}\).

Czyli pomimo tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}}}\) były pomnożone przez \(\displaystyle{ x^{3}}\), to mogłem wykonać skrócenie, więc to chyba chodzi jednak o potęgę, a nie o mnożenie, tak?

Wykonałeś "skrócenie" i wyszedł Ci poprawny wynik. Ale nie uzasadnisz tego postępowania korzystając ze znanych twierdzeń analizy matematycznej.

Ten przykład, oraz te poprzedni z pierwiastkiem pokazują, że raz takie działanie da poprawny wynik, a raz nie. A to oznacza, że nie jest to działanie poprawne bez dodatkowych założeń. Ty takich założeń nie uczyniłeś, więc trudno uznać to rozumowanie za poprawne


Prawidłowe rozwiązanie tego przykładu jest takie :

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\left(3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=3}\).

Pierwsze dwie równości to wynik przekształceń algebraicznych, a ostatnie wynika w twierdzeń o sumie oraz ilorazie granic.


Przypuśćmy, że masz do obliczenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)}\)
Twoim "sposobem" będzie tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)=\lim_{x\to\infty} x^2-x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)\red{=} \lim_{x\to\infty} x^2-x^2=0}\) (bo ono po prostu jest równe `3`).

a przecież wiesz, że granicą tego wyrażenie jest `3`

[IceMajor2]

Może jednak nie rozumiem, bo \(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}= \lim_{ x\to+\infty } \frac{3x^{3}}{x^{3}}=3}\).

Czyli pomimo tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}}}\) były pomnożone przez \(\displaystyle{ x^{3}}\), to mogłem wykonać skrócenie, więc to chyba chodzi jednak o potęgę, a nie o mnożenie, tak?

Wykonałeś "skrócenie" i wyszedł Ci poprawny wynik. Ale nie uzasadnisz tego postępowania korzystając ze znanych twierdzeń analizy matematycznej.

Ten przykład, oraz te poprzedni z pierwiastkiem pokazują, że raz takie działanie da poprawny wynik, a raz nie. A to oznacza, że nie jest to działanie poprawne bez dodatkowych założeń. Ty takich założeń nie uczyniłeś, więc trudno uznać to rozumowanie za poprawne


Prawidłowe rozwiązanie tego przykładu jest takie :

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\left(3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=3}\).

Pierwsze dwie równości to wynik przekształceń algebraicznych, a ostatnie wynika w twierdzeń o sumie oraz ilorazie granic.


Przypuśćmy, że masz do obliczenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)}\)
Twoim "sposobem" będzie tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^2-(x^2-3)=\lim_{x\to\infty} x^2-x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)\red{=} \lim_{x\to\infty} x^2-x^2=0}\) (bo ono po prostu jest równe `3`).

a przecież wiesz, że granicą tego wyrażenie jest `3`

Tak, tak. Rozumowałem tak jak napisałeś, ale zrobiłem błąd nie rozpisując tego tutaj, na forum, więc słusznie wywnioskowałeś, że "skróciłem".