Ciągłość funkcji odległości punktu od zbioru (W. Kołodziej: "Analiza Matematyczna")

[alanacm1899]

Witam,

Zadanie z książki W. Kołodziej: "Analiza Matematyczna" (Warszawa 1978), strona 68, ćwiczenie 4.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią metryczną, \(\displaystyle{ A\subset X, A\neq\emptyset}\). Odstępem punktu \(\displaystyle{ x \in X}\) od zbioru \(\displaystyle{ A}\) nazywamy liczbę: \[d(x,A) = \inf_{y\in A} \rho(x,y)\] Udowodnić ciągłość funkcji \[x\rightarrow d(x,A)\]

Wskazówka: Wykazać, że \(\displaystyle{ |d(x_{1},A)-d(x_{2},A)|\le \rho(x_{1},x_{2})}\)

Zadanie wydaje mi się proste ale nie zauważam pewnie jakiegoś szczegółu i nie mogę przez to udowodnić żądanej ciągłości. Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki, dzięki!

[szw1710]

Niech \(f(x)=d(x,A).\) Jeśli wykażesz tę nierówność, to wynika z niej nawet jednostajna ciągłość, albowiem jeśli tylko \(d(x_1,x_2)<\varepsilon\), to \(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\), więc w definicji ciągłości przyjmujemy \(\delta=\varepsilon\) niezależnie od argumentu. Sama nierówność wynika łatwo z nierówności trójkąta.