Wyznaczenie kresu zbioru

[archimedes]

Bazowe zadanie brzmi:

Zbadać, czy zbiór \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}, n \in \NN }\) ma element największy.

Ja poszedłem o krok dalej i wyznaczyłem ten element, tylko nie jestem pewien, czy poprawnie, oraz czy tego zbytnio nie przekomplikowałem.

Elementy zbioru tworzą ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{n} }\). Wyrazy tego ciągu są wartościami funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt[x]{x} }\) dla \(\displaystyle{ x \in \NN }\). Zbadamy teraz przebieg zmienności tej funkcji.

\(\displaystyle{ f(x) = e^{ \frac{1}{x}\ln x} }\)
\(\displaystyle{ f'(x) = e^{ \frac{1}{x}\ln x} (- \frac{1}{ x^{2} }\ln x + \frac{1}{ x^{2} }) = e^{ \frac{1}{x}\ln x} \frac{1}{ x^{2} } (1-\ln x) = \frac{1-\ln x}{ x^{2} } \sqrt[x]{x} }\)

Pochodna jest dodatnia dla \(\displaystyle{ x \in (0,e)}\), ujemna dla \(\displaystyle{ x \in (e, \infty )}\) i równa zero dla \(\displaystyle{ x = e}\). W tych przedziałach funkcja \(\displaystyle{ f(x) }\) jest zatem odpowiednio rosnąca i malejąca i osiąga maksimum dla \(\displaystyle{ x = e}\). Ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{n} }\) posiada więc wyraz maksymalny i jest to \(\displaystyle{ a_{2} = \sqrt{2} }\) lub \(\displaystyle{ a_{3} = \sqrt[3]{3} }\). Prostymi przekształceniami można sprawdzić, która z liczb jest większa:

\(\displaystyle{ \sqrt{2} = 2^ \frac{1}{2} = 2^ \frac{3}{6} = \sqrt[6]{8} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{3} = 3^ \frac{1}{3} = 3^ \frac{2}{6} = \sqrt[6]{9} }\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \sqrt[3]{3} > \sqrt{2} }\)

Zbiór \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}, n \in \NN }\) ma więc element największy równy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3} }\).

[Janusz Tracz]

Zbadać, czy zbiór \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}, n \in \NN }\) ma element największy.

A gdzie ten zbiór? Powinien się gdzieś pojawić napis \(\displaystyle{ \left\{ \sqrt[n]{n}:n\in\NN \right\} }\).

Elementy zbioru tworzą ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{n} }\).

Nie. W zbiorze nie ma wyróżnionej kolejności. Jest na odwrót to wartości ciągu tworzą zbiór. Poza tym jest ok (o ile obliczenia są poprawne ale wyglądają dobrze). Można się jeszcze przyczepić do stwierdzenia

Zbadamy teraz przebieg zmienności tej funkcji.

tej to znaczy której? Napisałeś, że \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[x]{x} }\) ale to za mało do pełnego opisu funkcji. Formalnie badasz funkcję

\(\displaystyle{ \left[ \left( 0, \infty \right)\ni x\mapsto \sqrt[x]{x} \in \RR \right] }\)

i skoro już znasz dziedzinę na której różniczkowanie ma sen to na takiej dziedzinie możesz powiedzieć coś o monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f}\). A potem wnioskujesz coś o monotoniczność obcięcia \(\displaystyle{ f\upharpoonright_{\NN}=a_n}\). Jednak mino tych formalnych niedociągnięć pomysł i wykonanie jest dobre i nie powiedział bym, że to przekombinowane.

[Premislav]

A bez pochodnych: \(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{n+1}<\sqrt[n]{n} \Leftrightarrow (n+1)^n<n^{n+1}\\ \Leftrightarrow \left(1+\frac 1n\right)^n<n}\),
zaś dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\) jest
\(\displaystyle{ \left(1+\frac 1n\right)^n=\sum_{k=0}^n \frac{ {n \choose k} }{n^k} <\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \\=1+1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\le 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}\\=2+1-\frac1n<3 }\),
więc ciąg niewątpliwie maleje dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\).
Natomiast dla \(\displaystyle{ n\le 2}\) korzystamy z oszacowania \(\displaystyle{ \left(1+\frac 1n\right)^n\ge 2\ge n.}\)

[archimedes]

Zbadać, czy zbiór \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}, n \in \NN }\) ma element największy.

A gdzie ten zbiór? Powinien się gdzieś pojawić napis \(\displaystyle{ \left\{ \sqrt[n]{n}:n\in\NN \right\} }\).

Elementy zbioru tworzą ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{n} }\).

Nie. W zbiorze nie ma wyróżnionej kolejności. Jest na odwrót to wartości ciągu tworzą zbiór. Poza tym jest ok (o ile obliczenia są poprawne ale wyglądają dobrze). Można się jeszcze przyczepić do stwierdzenia

Zbadamy teraz przebieg zmienności tej funkcji.

tej to znaczy której? Napisałeś, że \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[x]{x} }\) ale to za mało do pełnego opisu funkcji. Formalnie badasz funkcję

\(\displaystyle{ \left[ \left( 0, \infty \right)\ni x\mapsto \sqrt[x]{x} \in \RR \right] }\)

i skoro już znasz dziedzinę na której różniczkowanie ma sen to na takiej dziedzinie możesz powiedzieć coś o monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f}\). A potem wnioskujesz coś o monotoniczność obcięcia \(\displaystyle{ f\upharpoonright_{\NN}=a_n}\). Jednak mino tych formalnych niedociągnięć pomysł i wykonanie jest dobre i nie powiedział bym, że to przekombinowane.

Dzięki, takich braków formalnych się spodziewałem

Dodano po 2 minutach 16 sekundach:

A bez pochodnych: \(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{n+1}<\sqrt[n]{n} \Leftrightarrow (n+1)^n<n^{n+1}\\ \Leftrightarrow \left(1+\frac 1n\right)^n<n}\),
zaś dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\) jest
\(\displaystyle{ \left(1+\frac 1n\right)^n=\sum_{k=0}^n \frac{ {n \choose k} }{n^k} <\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \\=1+1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\le 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}\\=2+1-\frac1n<3 }\),
więc ciąg niewątpliwie maleje dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\).
Natomiast dla \(\displaystyle{ n\le 2}\) korzystamy z oszacowania \(\displaystyle{ \left(1+\frac 1n\right)^n\ge 2\ge n.}\)

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{ {n \choose k} }{n^k} <\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}}\) ? Albo inaczej - jak mając sumę po lewej w ogóle wpaść na to, by tak to ograniczyć?

[Dasio11]

To co napisał Premislav to klasyczny (choć trochę skompresowany) dowód, że ciąg \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}\) jest ograniczony, co prowadzi później do zdefiniowania jednej z najważniejszych stałych w analizie -

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawa_logarytmu_naturalnego

.

[a4karo]

Zbadać, czy zbiór \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}, n \in \NN }\) ma element największy.

A gdzie ten zbiór? Powinien się gdzieś pojawić napis \(\displaystyle{ \left\{ \sqrt[n]{n}:n\in\NN \right\} }\).

Elementy zbioru tworzą ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{n} }\).

Nie. W zbiorze nie ma wyróżnionej kolejności. Jest na odwrót to wartości ciągu tworzą zbiór. Poza tym jest ok (o ile obliczenia są poprawne ale wyglądają dobrze). Można się jeszcze przyczepić do stwierdzenia

Zbadamy teraz przebieg zmienności tej funkcji.

tej to znaczy której? Napisałeś, że \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[x]{x} }\) ale to za mało do pełnego opisu funkcji. Formalnie badasz funkcję

\(\displaystyle{ \left[ \left( 0, \infty \right)\ni x\mapsto \sqrt[x]{x} \in \RR \right] }\)

i skoro już znasz dziedzinę na której różniczkowanie ma sen to na takiej dziedzinie możesz powiedzieć coś o monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f}\). A potem wnioskujesz coś o monotoniczność obcięcia \(\displaystyle{ f\upharpoonright_{\NN}=a_n}\). Jednak mino tych formalnych niedociągnięć pomysł i wykonanie jest dobre i nie powiedział bym, że to przekombinowane.

No to dostaliśmy lekcję formalizmu. Możesz powiedzieć jak ma się do tego zapis \(\displaystyle{ f\upharpoonright_{\NN}=a_n}\)?

[Janusz Tracz]

No to dostaliśmy lekcję formalizmu.

@a4karo Powiedział bym, że raczej archimedes dostał kilka wskazówek jak zapisywać swoje myśli bardziej precyzyjnie lub czasem po porostu poprawnie. Poza tym archimedes nie prosił o inne rozwiązania (nie czepiam się tu wartościowego postu Premislava) chciał się dowiedzieć czy jego sposób był poprawny i nieprzekombinowany. Więc mój post odpowiadał na te pytania, a nie był lekcją formalizmów. Jeśli ja bym tego nie napisał to zapewne zrobił by to ktoś inny.

Możesz powiedzieć jak ma się do tego zapis \(\displaystyle{ f\upharpoonright_{\NN}=a_n}\)?

Jak już mówiłem nie daje lekcji formalizmów więc ten napis należy rozumieć tak, że \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza tu funkcję \(\displaystyle{ a_{\red{n}}:\NN\to \RR}\), a nie wartość ciągu dla argumentu \(\displaystyle{ n}\).

[Jan Kraszewski]

Jak już mówiłem nie daje lekcji formalizmów więc ten napis należy rozumieć tak, że \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza tu funkcję \(\displaystyle{ a_{\red{n}}:\NN\to \RR}\), a nie wartość ciągu dla argumentu \(\displaystyle{ n}\).

To Ci nie wyszło. Poprawnie powinno być \(\displaystyle{ a:\NN\to \RR}\) i \(\displaystyle{ a(n)=a_n}\). Samo \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza wyraz ciągu i nie możesz go z ciągiem utożsamiać.

Mógłbyś też ew. napisać \(\displaystyle{ f\upharpoonright_{\NN}=\left\langle a_n\right\rangle_{n\in\NN}}\).

JK

[archimedes]

No to dostaliśmy lekcję formalizmu.

@a4karo Powiedział bym, że raczej archimedes dostał kilka wskazówek jak zapisywać swoje myśli bardziej precyzyjnie lub czasem po porostu poprawnie. Poza tym archimedes nie prosił o inne rozwiązania (nie czepiam się tu wartościowego postu Premislava) chciał się dowiedzieć czy jego sposób był poprawny i nieprzekombinowany. Więc mój post odpowiadał na te pytania, a nie był lekcją formalizmów. Jeśli ja bym tego nie napisał to zapewne zrobił by to ktoś inny.

Możesz powiedzieć jak ma się do tego zapis \(\displaystyle{ f\upharpoonright_{\NN}=a_n}\)?

Jak już mówiłem nie daje lekcji formalizmów więc ten napis należy rozumieć tak, że \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza tu funkcję \(\displaystyle{ a_{\red{n}}:\NN\to \RR}\), a nie wartość ciągu dla argumentu \(\displaystyle{ n}\).

I takie wskazówki są mi jak najbardziej potrzebne, bo ja w matematyce zazwyczaj nie mam problemów z wymyśleniem rozwiązania, mam problem z pokazaniem, czemu wiem to co wiem, i co mi wolno stwierdzać bez wyprowadzania, a czego nie

[Janusz Tracz]

ok macie racje. archimedes słuchaj się a4karo oraz Jan Kraszewski. Moją lekcję formalizmów możesz ignorować.