punkty nieciągłości

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 39 razy

punkty nieciągłości

Post autor: klimat » 11 cze 2021, o 10:16

Wyznacz punkty nieciągłości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) =\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(1+ \sin \frac{\pi} {x})^n - 1} {(1 + \sin \frac{\pi} {x})^n +1}}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3513
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: punkty nieciągłości

Post autor: Janusz Tracz » 11 cze 2021, o 10:24

Rozważ przypadki

\(\displaystyle{ (1)}\) Zbiór \(\displaystyle{ x}\)-sów takich, że \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{x}>0 }\),

\(\displaystyle{ (2)}\) Zbiór \(\displaystyle{ x}\)-sów takich, że \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{x}=0 }\),

\(\displaystyle{ (3)}\) Zbiór \(\displaystyle{ x}\)-sów takich, że \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{x}<0 }\).

Potem zobacz ile wynosi wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x}\)-sów z poszczególnych przypadków. Choć w sumie można od razu napisać, że zbiór punktów nieciągłości to \(\displaystyle{ N(f)=\left\{ x\in (0,1):\sin \pi/x =0 \right\} }\).

ODPOWIEDZ