Czy funkcja jest rozniczkowalna w punkcie x=0 ?
\(\displaystyle{ f(x)=(2x-5) \sqrt[3]{x^2} }\)
Czy funkcja jest rozniczkowalna ?
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 18 maja 2021, o 12:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Czy funkcja jest rozniczkowalna ?
Do sprawdzenia jest czy istnieje granica
istnieje. Rozważ w tym celu dwa ciągi \(\displaystyle{ h_n=1/n}\) oraz \(\displaystyle{ h_n=-1/n}\) i policz
Następnie skorzystaj z definicji granicy.
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{(2h-5) \sqrt[3]{h^2} }{h} }\)
istnieje. Rozważ w tym celu dwa ciągi \(\displaystyle{ h_n=1/n}\) oraz \(\displaystyle{ h_n=-1/n}\) i policz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(2h_n-5) \sqrt[3]{h_n^2} }{h_n}. }\)
Następnie skorzystaj z definicji granicy.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Czy funkcja jest rozniczkowalna ?
Inaczej:
Przypuśćmy, że ta funkcja jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\). Wówczas funkcja o wzorze
\(\displaystyle{ x\mapsto \frac{f(x)}{2x-5}=\sqrt[3]{x^2}}\)
jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\) (jako iloraz dwóch funkcji różniczkowalnych w \(\displaystyle{ x=0}\)). Jednak
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=-\infty}\), a \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=+\infty}\)
Przypuśćmy, że ta funkcja jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\). Wówczas funkcja o wzorze
\(\displaystyle{ x\mapsto \frac{f(x)}{2x-5}=\sqrt[3]{x^2}}\)
jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\) (jako iloraz dwóch funkcji różniczkowalnych w \(\displaystyle{ x=0}\)). Jednak
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=-\infty}\), a \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=+\infty}\)