Czy funkcja jest rozniczkowalna ?

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Kacper_21_04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 18 maja 2021, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 3 razy

Czy funkcja jest rozniczkowalna ?

Post autor: Kacper_21_04 »

Czy funkcja jest rozniczkowalna w punkcie x=0 ?
\(\displaystyle{ f(x)=(2x-5) \sqrt[3]{x^2} }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Czy funkcja jest rozniczkowalna ?

Post autor: Janusz Tracz »

Do sprawdzenia jest czy istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{(2h-5) \sqrt[3]{h^2} }{h} }\)

istnieje. Rozważ w tym celu dwa ciągi \(\displaystyle{ h_n=1/n}\) oraz \(\displaystyle{ h_n=-1/n}\) i policz

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(2h_n-5) \sqrt[3]{h_n^2} }{h_n}. }\)

Następnie skorzystaj z definicji granicy.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Czy funkcja jest rozniczkowalna ?

Post autor: matmatmm »

Inaczej:

Przypuśćmy, że ta funkcja jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\). Wówczas funkcja o wzorze
\(\displaystyle{ x\mapsto \frac{f(x)}{2x-5}=\sqrt[3]{x^2}}\)
jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\) (jako iloraz dwóch funkcji różniczkowalnych w \(\displaystyle{ x=0}\)). Jednak
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=-\infty}\), a \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=+\infty}\)
ODPOWIEDZ