Ciągląść funkcji

[kt26420]

Funkcja \(\displaystyle{ f : [0,\infty)}\) jest ciągła i nie jest ograniczona ani z góry, ani z dołu.
Pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje każdą wartość rzeczywistą nieskończenie wiele razy.

Było to rozwiązane na ćwiczeniach, ale nie zrozumiałam w ogóle nic.
Poprosiłabym żeby ktoś wyjaśnił, bedę wdzięczna )

[Jan Kraszewski]

Funkcja \(\displaystyle{ f : [0,\infty)}\)

Czegoś ewidentnie zapomniałaś napisać.

JK

[a4karo]

Spróbuj narysować taka funkcję

[Janusz Tracz]

Chyba wystarczy zauważyć, że, gdyby było inaczej to istniała by wartość \(\displaystyle{ y}\) taka, że \(\displaystyle{ \left| f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right|<\aleph_0 }\). Więc dla \(\displaystyle{ x>\max \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right\} }\) było by \(\displaystyle{ f(x)>y}\) albo \(\displaystyle{ f(x)<y}\). Oczywiście wcześniej mamy funkcję ciągła na zwartym zbiorze więc tam jest ograniczona. Zatem mamy ograniczony kawałek na \(\displaystyle{ \left[ 0, \max \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]\right\} \right] }\), a potem kawałek na \(\displaystyle{ \left[\max \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]\right\} , \infty \right) }\) jest ograniczony z góry albo dołu. A to implikuje piorun.