Granica bez reguły de l'Hospitala

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Granica bez reguły de l'Hospitala

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Cześć, czy zna ktoś jakąś sprytną elegancką metodę, która pozwoli policzyć poniższą granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} x e^{1/x} }\)
Ma to być zrozumiałe dla osoby, która nie zna pochodnych i w związku z tym odpada reguła de l'Hospitala lub oszacowanie z szeregu Taylora.

Jedyny pomysł na który wpadłem, to szacowanie od dołu dla \(\displaystyle{ x \in \left[(1/2)^n, (1/2)^{n-1}\right]}\) naszej funkcji przez \(\displaystyle{ (e/2)^n}\) i skorzystanie z wiedzy o tym, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (e/2)^n = +\infty}\), ale nie wiem czy podpada to pod "sprytną elegancką metodę". Znacie jakiś fajny sposób na policzenie tej granicy? Z góry dzięki za pomoc!

P.S. Przeglądałem forum i znalazłem podobne (a może nawet dokładnie takie same, teraz nie mogę znaleźć) granice liczone przy użyciu wspomnianej reguły oraz temat, gdzie różne granice się bez tej metody liczy, ale nic podobnego nie znalazłem.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Granica bez reguły de l'Hospitala

Post autor: Tmkk »

Nie będzie to jakieś super sprytne, ale jeśli chcesz to zrobić prosto, to zacząłbym od podstawienia \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\). Dostajemy wtedy przyjemniejszy napis, czyli \(\displaystyle{ \lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{y}}\). Teraz wypadałoby cokolwiek wiedzieć o funkcji wykładniczej, aby to jakoś przeszacować. Dla przykładu, ze zwykłego popatrzenia na wykresy, możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ e^x \ge x}\). Podnosząc do kwadartu (patrzymy na liczby dodatnie), jest \(\displaystyle{ e^{2x} \ge x^2}\), wobec czego \(\displaystyle{ e^{y} \ge \frac{y^2}{4}}\). Podstawiamy i wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{e^y}{y} \ge \frac{y^2}{4y} = \frac{y}{4} \to +\infty}\), gdy \(\displaystyle{ y\to +\infty}\).
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: Granica bez reguły de l'Hospitala

Post autor: FasolkaBernoulliego »

Dzięki, jest bosko, właśnie czegoś takiego mi było trzeba!
ODPOWIEDZ