Matematyka.pl

Czy możemy mówić o zbieżności puntkowej funkcji do \(\displaystyle{ \infty}\)?

Mam tu na myśli to że, weźmy sobie monotoniczny (niemalejący) ciąg funkcji nieujemnych na zbiorze \(\displaystyle{ E}\) czyli \(\displaystyle{ 0 \le f_{1}(x) < f_{2} \le .... }\) dla \(\displaystyle{ x \in E}\) i \(\displaystyle{ n \in \NN}\)

Gdy piszemy : Niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} f_{n}(x) = f(x)}\) na E to mamy na mysli że każda z funkcji \(\displaystyle{ f_{i}}\) oraz sama funkcja \(\displaystyle{ f}\) są funkcjami ograniczonymi?

Dziękuję za pomoc.

Wszystko zależy od celu, jaki sobie stawiamy. W teorii miary często rozważa się funkcje o wartościach nieskończonych.

mmss pisze: ↑4 maja 2021, o 18:06 Gdy piszemy : Niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} f_{n}(x) = f(x)}\) na E to mamy na mysli że każda z funkcji \(\displaystyle{ f_{i}}\) oraz sama funkcja \(\displaystyle{ f}\) są funkcjami ograniczonymi?

Sądzę, że tutaj mylisz pojęcia. Dla każdego \(x\in E\), \(\bigl(f_n(x)\bigr)_{n\in\NN}\) jest ciągiem liczbowym. Jeśli taki ciąg jest ograniczony (i z narzuconej przez Ciebie monotoniczności, zbieżny), to można zdefiniować \(f(x)\in\RR.\) Dla jakiegoś \(x\) ten ciąg może być nieograniczony, więc będzie zmierzał do nieskończoności (też monotoniczność i nieujemność).

W teorii miary badamy często podzbiór \[E_0=\{x\in E\colon \lim_{n\to\infty}f_n(x)<\infty\}.\]Takie zbiory miewają interesujące własności.