Matematyka.pl

Niech dany będzie ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_{i}(x))}\) gdzie każde \(\displaystyle{ f_{i} : X \rightarrow \RR}\).

Czym jest np. \(\displaystyle{ \sup_i(f_{i})}\)? Oczywiście \(\displaystyle{ j \in \NN}\). Rozumiem branie supremum/infinum funkcji na zbiorze, ale po indeksach ciągu?

Czy może jest do branie supremum po wszystkich \(\displaystyle{ f_{i}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\)? Raczej nie bo to supremum jest funkcją a nie liczbą.

to jest prawie tak samo jak `\max(f_1,...,f_n)`, tylko w przypadku nieskończonej rodziny to maximum nie musi istnieć. a supremum tak.

Ok to spójrzmy na \(\displaystyle{ \text{max}(f_{1},f_{2})}\) takie że \(\displaystyle{ f_{i} : X \rightarrow \RR}\) gdzie \(\displaystyle{ i = 1,2}\) oraz \(\displaystyle{ X \subset \RR}\). Można łatwo wskazać takie funkcje że miejscami to \(\displaystyle{ f_{1}}\) jest większa od \(\displaystyle{ f_{2}}\) a miejscami na odwrót, oczywiście wszystko na \(\displaystyle{ X}\). Czym jest wtedy \(\displaystyle{ \text{max}(f_{1},f_{2})}\).

To jest taka funkcja, którą w punkcie `x` przyjmuje większą z wartości `f_1(x)` i `f_2(x)`

No tak, teraz jest jasne. Nie przypuszczałem że tak robimy - myślałem że bierzemy konkretne \(\displaystyle{ f_{i}}\) i definiujemy to jako nasze sup/inf. A chodzi o to aby na całe wyrażenie sup/inf spojrzeć na funkcję od argumentu \(\displaystyle{ x}\) i wybieramy dla każdego \(\displaystyle{ x}\) te \(\displaystyle{ f_{i}}\) która jest sup/inf.

Czy taka funkcja sup/inf ciągu funkcji ma jakieś ciekawe właności typu ciągłość bądź różniczkowalność i czy są one przydatne?

Przykład `x^{1/n}` na odcinku jednostkowym pokazuje, że ciągłości nie ma