Niech dany będzie ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_{i}(x))}\) gdzie każde \(\displaystyle{ f_{i} : X \rightarrow \RR}\).
Czym jest np. \(\displaystyle{ \sup_i(f_{i})}\)? Oczywiście \(\displaystyle{ j \in \NN}\). Rozumiem branie supremum/infinum funkcji na zbiorze, ale po indeksach ciągu?
Czy może jest do branie supremum po wszystkich \(\displaystyle{ f_{i}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\)? Raczej nie bo to supremum jest funkcją a nie liczbą.
Lim sup oraz lim ciągu funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Lim sup oraz lim ciągu funkcji
Ostatnio zmieniony 28 kwie 2021, o 11:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Lim sup oraz lim ciągu funkcji
to jest prawie tak samo jak `\max(f_1,...,f_n)`, tylko w przypadku nieskończonej rodziny to maximum nie musi istnieć. a supremum tak.
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Lim sup oraz lim ciągu funkcji
Ok to spójrzmy na \(\displaystyle{ \text{max}(f_{1},f_{2})}\) takie że \(\displaystyle{ f_{i} : X \rightarrow \RR}\) gdzie \(\displaystyle{ i = 1,2}\) oraz \(\displaystyle{ X \subset \RR}\). Można łatwo wskazać takie funkcje że miejscami to \(\displaystyle{ f_{1}}\) jest większa od \(\displaystyle{ f_{2}}\) a miejscami na odwrót, oczywiście wszystko na \(\displaystyle{ X}\). Czym jest wtedy \(\displaystyle{ \text{max}(f_{1},f_{2})}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Lim sup oraz lim ciągu funkcji
No tak, teraz jest jasne. Nie przypuszczałem że tak robimy - myślałem że bierzemy konkretne \(\displaystyle{ f_{i}}\) i definiujemy to jako nasze sup/inf. A chodzi o to aby na całe wyrażenie sup/inf spojrzeć na funkcję od argumentu \(\displaystyle{ x}\) i wybieramy dla każdego \(\displaystyle{ x}\) te \(\displaystyle{ f_{i}}\) która jest sup/inf.
Czy taka funkcja sup/inf ciągu funkcji ma jakieś ciekawe właności typu ciągłość bądź różniczkowalność i czy są one przydatne?
Czy taka funkcja sup/inf ciągu funkcji ma jakieś ciekawe właności typu ciągłość bądź różniczkowalność i czy są one przydatne?