Związek pomiędzy granicą górną a granicą
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 16 mar 2021, o 16:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
Związek pomiędzy granicą górną a granicą
Wiem, że \(\displaystyle{ x_{n}>0}\) oraz, że \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} x_n\leq \varepsilon^2}\). Dlaczego na tej podstawie można wnioskować, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n =0}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą
A może dodasz coś o \(\displaystyle{ \varepsilon}\)? Jakiś kwantyfikator?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 31 mar 2020, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 13 razy
Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą
Działa to dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0.}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą
Zauważ, że \(\displaystyle{ 0 \le \lim_{n \to \infty }x_n \le \limsup_{n \rightarrow \infty } x_n \le \epsilon^2}\). Kładąc \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) dostajesz tezę.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą
TRochę manipulujesz. Twoja nierównośc zakłada istnienie granicy ciągu. Dowodzisz zatem twierdzenia: Jeżeli granica istnieje, to jest równa zero. A to za małoJanusz Tracz pisze: ↑30 mar 2021, o 11:09 Zauważ, że \(\displaystyle{ 0 \le \lim_{n \to \infty }x_n \le \limsup_{n \rightarrow \infty } x_n \le \epsilon^2}\). Kładąc \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) dostajesz tezę.
Wskazówka:
Jeżli \(\displaystyle{ \limsup_n x_n\le \epsilon}\), to istnieje takie `N`, że dla `n>N` mamy `x_n<2\epsilon`
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą
Można też wykazać to tak:
\(\displaystyle{ 0\leq \liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n \leq 0}\)
Pierwsza nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ x_n>0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).
Trzecia nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}x_n \leq \varepsilon^2}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).
\(\displaystyle{ 0\leq \liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n \leq 0}\)
Pierwsza nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ x_n>0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).
Trzecia nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}x_n \leq \varepsilon^2}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).