Związek pomiędzy granicą górną a granicą

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Julia0909
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 mar 2021, o 16:21
Płeć: Kobieta
wiek: 22
Podziękował: 4 razy

Związek pomiędzy granicą górną a granicą

Post autor: Julia0909 »

Wiem, że \(\displaystyle{ x_{n}>0}\) oraz, że \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} x_n\leq \varepsilon^2}\). Dlaczego na tej podstawie można wnioskować, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n =0}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą

Post autor: Jan Kraszewski »

A może dodasz coś o \(\displaystyle{ \varepsilon}\)? Jakiś kwantyfikator?

JK
Matematyk99xx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 31 mar 2020, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 13 razy

Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą

Post autor: Matematyk99xx »

Działa to dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0.}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą

Post autor: Janusz Tracz »

Zauważ, że \(\displaystyle{ 0 \le \lim_{n \to \infty }x_n \le \limsup_{n \rightarrow \infty } x_n \le \epsilon^2}\). Kładąc \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) dostajesz tezę.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą

Post autor: a4karo »

Janusz Tracz pisze: 30 mar 2021, o 11:09 Zauważ, że \(\displaystyle{ 0 \le \lim_{n \to \infty }x_n \le \limsup_{n \rightarrow \infty } x_n \le \epsilon^2}\). Kładąc \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) dostajesz tezę.
TRochę manipulujesz. Twoja nierównośc zakłada istnienie granicy ciągu. Dowodzisz zatem twierdzenia: Jeżeli granica istnieje, to jest równa zero. A to za mało

Wskazówka:
Jeżli \(\displaystyle{ \limsup_n x_n\le \epsilon}\), to istnieje takie `N`, że dla `n>N` mamy `x_n<2\epsilon`
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Związek pomiędzy granicą górną a granicą

Post autor: matmatmm »

Można też wykazać to tak:

\(\displaystyle{ 0\leq \liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n \leq 0}\)

Pierwsza nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ x_n>0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).
Trzecia nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}x_n \leq \varepsilon^2}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).
ODPOWIEDZ