Warunek Lipschitza

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
mat123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 mar 2019, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Warunek Lipschitza

Post autor: mat123 » 19 mar 2021, o 20:05

Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[8]{x^{2}+10^{8}} }\) spełnia warunek Lipschitza.
Ostatnio zmieniony 19 mar 2021, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15338
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5102 razy

Re: Warunek Lipschitza

Post autor: Premislav » 19 mar 2021, o 20:23

Mamy
\(\displaystyle{ |f'(x)|=\frac{|x|}{4\left(x^{2}+10^{8}\right)^{\frac{7}{8}}}}\)
i z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną zachodzi
\(\displaystyle{ \overbrace{\frac{x^{2}}{4}+\ldots+\frac{x^{2}}{4}}^{4}+\frac{10^{8}}{3}+\frac{10^{8}}{3}+\frac{10^{8}}{3}\ge 7\left(\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{4}\left(\frac{10^{8}}{3}\right)^{3}\right)^{\frac{1}{7}}}\)
a więc dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) zajdzie
\(\displaystyle{ |f'(x)|\le \frac{1}{4\cdot 7^{\frac78}\left(\frac{10^{24}}{3^3\cdot 2^8}\right)^{\frac18}}}\)
a dla \(\displaystyle{ x=0}\) oczywiscie ta nierówność również zajdzie (tylko nie możemy jej wówczas uargumentować z nierówności między średnimi).
W połączeniu z twierdzeniem Lagrange'a o wartości średniej wnioskujemy więc, że \(\displaystyle{ f}\) jest lipszycowską ze stałą \(\displaystyle{ c=\frac{1}{4\cdot 7^{\frac{7}{8}}\left(\frac{10^{24}}{3^{3}\cdot 2^{8}}\right)^{\frac{1}{8}}}}\) (oczywiście, co za tym idzie, z każdą większą także).

ODPOWIEDZ