Matematyka.pl

Cześć, mam następujące zadania:
"Funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{x-3} }\) dla \(\displaystyle{ x \neq 3}\) Granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } }\) jest równa:"
Wyliczam ze wzoru na iloraz funkcji i wychodzi mi po wymnożeniu \(\displaystyle{ \frac{-3}{ (x-3)^{2}} }\) Czyli mianownik leci do nieskonczonosci a licznik sie zeruje, czyli funkcja zbliza sie do zera(od lewej strony). Odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ 1}\) a nie \(\displaystyle{ 0}\). Dlaczego? Tzn jeśli wyciągne x przed nawias w mianowniku to wynik wychodzi prawidłowy, natomiast nie rozumiem dlaczego wzór \(\displaystyle{ f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} }\) mi tutaj nie zadziałał.
Dzięki

Czy mógłbyś sprecyzować, jakiego dokładnie twierdzenia użyłeś?

Jasne, pochodna ilorazu funkcji
Pod tym linkiem
Dział 17, pierwszy podpunkt.

MatU3x pisze: ↑10 lut 2021, o 23:00Granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } }\) jest równa:

To jest w stylu dowcipu "Czym się różni wróbelek?" \(\displaystyle{ ^*}\)

Granica zawsze jest "czegoś".

MatU3x pisze: ↑10 lut 2021, o 23:00Wyliczam ze wzoru na iloraz funkcji i wychodzi mi po wymnożeniu \(\displaystyle{ \frac{-3}{ (x-3)^{2}} }\)

Że co robisz?

MatU3x pisze: ↑10 lut 2021, o 23:15 Jasne, pochodna ilorazu funkcji
Pod tym linkiem
Dział 17, pierwszy podpunkt.

A co ma wspólnego pochodna ilorazu funkcji z tą granicą?!

To kolejny post po którym widać, że traktujesz matematykę jako "magię znaczków" - nie zastanawiasz się w ogóle, co te znaczki znaczą. Gdybyś się zastanowił, to nie myliłbyś mianownika z licznikiem, nie stosowałbyś losowych wzorów z nadzieją, że a nuż pasują itp.

JK

\(\displaystyle{ ^*}\) Ma jedną nóżkę bardziej.

Tak, ma Pan rację, zgubiłem przy przepisywaniu, oczywiście mam na myśli granicę dla f(x). Zacząłem nowy dział którego nigdy wcześniej nie przerabiałem, dlatego jeśli popełniłem jakiś błąd, to nie umyślnie. Pozwolę sobie trochę z Panem nie zgodzić. Po kilku latach przerwy wróciłem do nauki i szczerze powiedziawszy pewne rzeczy które wydawały mi się błahe i banalne wcześniej, teraz momentami takie nie są. Zdaję sobie sprawę, że jak wrzucam jakiegoś posta to może to tak wyglądać, ale tak w rzeczywistości nie jest. W większości przypadków zdaję sobię sprawę, że np. tak jak z tym licznikiem i mianownikiem że wykonuje dane równanie źle, niestety ciężko jest mi znaleźć odpowiedź na to z czym akurat ten wzór pomyliłem, jeśli takowego nie mogę znaleźć w tablicy wzorów. Zazwyczaj wrzucam posta dopiero po tym jak naprawdę przez pewien czas nad czymś myślę i nie mogę znaleźć/nie jestem pewny rozwiązania. Co więcej wiele moich postów pojawia się po paru godzinach nauki, gdzie nie ukrywam ciężej mi się myśli, stąd durne błędy. Podsumowując zdaję sobie sprawę że z Pana punktu widzenia może to być nużące oraz irytujące, ale prosiłbym o pewne zrozumienie. Poza tym doceniam wszystkie Pańskie odpowiedzi ponieważ czasem pomimo lekkiej nuty ironizmu efekt końcowy-zrozumienie przeze mnie problemu zostaje rozwiązane.
Pozdrawiam

To była raczej rada niż zarzut - po prostu lepiej jest zrozumieć niż dopasowywać wzory. Nie wiem, jaki jest cel Twojej nauki - pewne rzeczy można osiągnąć bez zrozumienia, zdobywszy pewną sprawność w manipulowaniu wzorami i dopasowywaniu algorytmów, co nie zmienia faktu, że z mojego punktu widzenia jest to mało sensowne podejście do nauki matematyki.

Piszesz np. "ciężko jest mi znaleźć odpowiedź na to z czym akurat ten wzór pomyliłem, jeśli takowego nie mogę znaleźć w tablicy wzorów", co wskazuje na to, że próba rozwiązania polegała na poszukiwaniu wzoru do dopasowania. Takie podejście automatycznie wymusza znajomość coraz większej liczby wzorów, co z kolei automatycznie zwiększa szansę na pomyłkę, bo szukasz "pasującego wzoru" w coraz większej puli wzorów i coraz łatwiej wyciągnąć nie to, co trzeba (bo "wygląda podobnie"). Ma zatem krótkoterminową skuteczność i jest stosowane przez osoby, które chcą szybko osiągnąć jakiś "matematyczny wynik" (np. zdać maturę), a potem mogą spokojnie te wszystkie wzory wyrzucić z pamięci. Jest też bardziej podatne na błędy, bo nie rozumiejąc wzoru nie masz żadnych narzędzi do autokorekty, czyli wyłapywania swoich pomyłek (każdy się myli, ja też, moja przewaga polega na tym, że zazwyczaj potrafię zorientować się, że się pomyliłem).

Uczenie się ze zrozumieniem jest bardziej wymagające i może wydawać się mniej efektywne, ale w dłuższej perspektywie jest dokładnie odwrotnie - daje trwalsze i lepsze efekty. Poza tym jeżeli uczysz się ze zrozumieniem, to sam potrafisz zrozumieć, dlaczego pewne rachunki nie mają sensu i dlaczego pewne podejmowane próby to ślepa uliczka.

A w kwestii wyjściowej granicy: zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}}\) i zastosuj twierdzenia o własności granic (inna wersja: \(\displaystyle{ \frac{x}{x-3}=\frac{1}{1-\frac{3}{x}}}\)).

JK

Racja, w moim przypadku jest to rzeczywiście krótki czas na przygotowanie się do matury rozszerzonej, natomiast wrzucam zapytania dlatego właśnie by jak najwięcej zrozumieć z tego co robię, książkę z rozwiązaniami posiadam. Jednak jak widzę że innym sposobem mi nie wychodzi to chcę zrozumieć dlaczego a nie stosować akurat sposób opisany przez autora. Co do zrozumienia zgadzam się, jednakże pozwolę sobie dodać, że egzaminy trochę zniechęcają do takiego podejścia jakie Pan opisał. Sam będąc w szkole średnie starałem się wszystko zrozumieć(piszę o podstawie), tłumaczyłem nawet znajomemu wiele razy co, z czego itd. Ja uczyłem się tak by rozumieć, on przerabiał masę egzaminów. Koniec końców ja który mu nie raz tłumaczyłem skończyłem z wynikiem ~70% a on ~90%.
PS Dziękuję za wytłumaczenie

A co cię skłoniło do przypuszczenia, że granica funkcji jest równa granicy jej pochodnej?

MatU3x pisze: ↑11 lut 2021, o 19:28Co do zrozumienia zgadzam się, jednakże pozwolę sobie dodać, że egzaminy trochę zniechęcają do takiego podejścia jakie Pan opisał.

Zgoda. Nie trzeba dobrze rozumieć matematyki, by mieć dobry wynik z matury (nawet rozszerzonej) - wystarczy być dobrze wytrenowanym (wytresowanym?).

JK

a4karo pisze: ↑11 lut 2021, o 19:42 A co cię skłoniło do przypuszczenia, że granica funkcji jest równa granicy jej pochodnej?

Szczerze powiedziawszy to ciężko mi powiedzieć. Obejrzałem kilka filmów z teorii rachunku różniczkowego, poszło mi 15 zadań gładko i chyba walnąłem po prostu głupotę. Edit nie chyba ale na pewno

a4karo pisze: ↑11 lut 2021, o 19:42A co cię skłoniło do przypuszczenia, że granica funkcji jest równa granicy jej pochodnej?

Ponieważ w użytym wzorze była pochodna i iloraz, więc podejrzewam, że to jakieś echa niezrozumianego de l'Hospitala.

JK