Udowodnić, że dla x ≥ 0 zachodzi nierównoś

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 27 razy

Udowodnić, że dla x ≥ 0 zachodzi nierównoś

Post autor: kt26420 » 31 sty 2021, o 22:01

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ x\geq0 }\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{
\ln(1+ex)\geq \sin{x}.
}\)



Proszę o pomoc!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15338
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5102 razy

Re: Udowodnić, że dla x ≥ 0 zachodzi nierównoś

Post autor: Premislav » 31 sty 2021, o 22:31

Dla \(\displaystyle{ x> \frac{e-1}{e}}\) nierówność jest oczywista, gdyż logarytm naturalny jest funkcją rosnącą, a sinus jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\), zatem gdy \(\displaystyle{ x>\frac{e-1}{e}}\), to \(\displaystyle{ \ln(1+ex)>1\ge \sin x}\).
Wystarczy więc ograniczyć się w dalszych rozważaniach do \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{e-1}{e}\right]}\).

Korzystam ze znanych i lubianych nierówności \(\displaystyle{ \ln(1+t)\ge \frac{t}{1+t}, \ t\ge \sin t \ (t\ge 0)}\), których dowody też mogę przytoczyć w razie potrzeby. Mamy we wspomnianym przedziale
\(\displaystyle{ \ln(1+ex)\ge \frac{ex}{1+ex}\ge \frac{ex}{1+e\cdot \frac{e-1}{e}}=x\ge \sin x}\)
co kończy dowód.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19418
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Udowodnić, że dla x ≥ 0 zachodzi nierównoś

Post autor: a4karo » 31 sty 2021, o 23:09

Końcówkę bez nierówności się robi:
`\ln(1+ex)>x` dla `0<x<1`, bo dla `x=0` zachodzi równość, a dla `x=1` lewa strona jest większa od prawej, zaś funkcja z lewej jest wklęsła.

ODPOWIEDZ