Matematyka.pl

Cześć,

Nie mogę doliczyć się granic regułą de I'Hospitala w tych przykładach.

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(\tg x) ^{x} }\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\tg x}\right) }\)

W przykładzie a) jak coś znam ten wzór z liczbą e do liczenia takich granic, ale mi nie wychodzi to za bardzo. Mógłby ktoś to jakoś rozpisać?
Z góry dziękuję za pomoc!

Pokaż swoje rachunki...

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑28 sty 2021, o 22:34 Pokaż swoje rachunki...

JK

a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony po raz drugi i liczenia jeszcze raz de I'Hospitala chyba nie ma sensu, w złą stronę chyba idę.
b)
Po zastosowaniu de I'Hospitala wychodzi takie coś \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{ \frac{1}{\cos ^{2}x }-1 }{\tg x + x\cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} } }\) i tutaj też chyba średnio stosować jeszcze raz de I'Hospitala. Może w tych przykładach trzeba zastosować jakieś przekształcenia, o których nie wiem.

Maradona126 pisze: ↑28 sty 2021, o 22:48a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony

Po pierwsze, nie wiemy, czy to poprawny wynik, bo nie widzimy, jak do niego dochodzisz.
Po drugie, jeśli poprawny, to nie wychodzi symbol nieoznaczony.

JK

Sam de l'Hospital to nie maszynka, która załatwia wszystko. Czasem trzeba włączyć myślenie. Nie przyszło Ci do głowy przekształcenie tego czteropiętrowca?

a4karo pisze: ↑28 sty 2021, o 23:24 Sam de l'Hospital to nie maszynka, która załatwia wszystko. Czasem trzeba włączyć myślenie. Nie przyszło Ci do głowy przekształcenie tego czteropiętrowca?

To jak to można przekształcić tak żeby nie wychodził symbol nieoznaczony?

Maradona126 pisze: ↑29 sty 2021, o 00:05To jak to można przekształcić tak żeby nie wychodził symbol nieoznaczony?

A spróbowałeś czegokolwiek? Bo na razie cały czas czekasz, aż ktoś Ci pokaże.

JK

Maradona126 pisze: ↑28 sty 2021, o 22:28 a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(\tg x) ^{x} }\)

Ta granica nie istnieje, powinno chyba być \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^+}(\tg x) ^{x} }\), czyli granica prawostronna.

Jan Kraszewski pisze: ↑28 sty 2021, o 22:55

Maradona126 pisze: ↑28 sty 2021, o 22:48a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony

Po pierwsze, nie wiemy, czy to poprawny wynik, bo nie widzimy, jak do niego dochodzisz.
Po drugie, jeśli poprawny, to nie wychodzi symbol nieoznaczony.

JK

Wychodzi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \infty }{- \infty }\right] }\) albo \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right] }\).

Maradona126 pisze: ↑28 sty 2021, o 22:48 no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony po raz drugi i liczenia jeszcze raz de I'Hospitala chyba nie ma sensu, w złą stronę chyba idę.

Dobrze robisz. Policz de l'Hospitala po raz drugi i Ci wyjdzie.

Dodano po 22 minutach 11 sekundach:
W b) też umiesz zrobić podwójnym l'Hopitalem.

pkrwczn pisze: ↑29 sty 2021, o 08:10

Maradona126 pisze: ↑28 sty 2021, o 22:28 a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(\tg x) ^{x} }\)

Ta granica nie istnieje, powinno chyba być \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^+}(\tg x) ^{x} }\), czyli granica prawostronna.

Granicę liczy się po argumentach należących do dziedziny, a dziedziną tej funkcji jest zbiór ...

Jan Kraszewski pisze: ↑28 sty 2021, o 22:55

Maradona126 pisze: ↑28 sty 2021, o 22:48a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony

Po pierwsze, nie wiemy, czy to poprawny wynik, bo nie widzimy, jak do niego dochodzisz.
Po drugie, jeśli poprawny, to nie wychodzi symbol nieoznaczony.

JK

Wychodzi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \infty }{- \infty }\right] }\) albo \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right] }\).

Powtórzę: kiedyś trzeba włączyć myślenie. Czyżbyś uważał, że `x/x` to symbol nieoznaczony?

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } }=-\frac{x^2}{\sin x\cos x}=-\frac{x}{\sin x}\frac{x}{\cos x}\to0}\)

Jak widać, kolejna rada jest zbędna

Maradona126 pisze: ↑28 sty 2021, o 22:48 no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony po raz drugi i liczenia jeszcze raz de I'Hospitala chyba nie ma sensu, w złą stronę chyba idę.

Dobrze robisz. Policz de l'Hospitala po raz drugi i Ci wyjdzie.

Dodano po 22 minutach 11 sekundach:
W b) też umiesz zrobić podwójnym l'Hopitalem.

Wcześniej zamień tangens na iloraz sinusa i kosinusa i uprość maksymalnie