Reguła de I'Hospitala

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Reguła de I'Hospitala

Post autor: Maradona126 » 28 sty 2021, o 22:28

Cześć,

Nie mogę doliczyć się granic regułą de I'Hospitala w tych przykładach.

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(\tg x) ^{x} }\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\tg x}\right) }\)

W przykładzie a) jak coś znam ten wzór z liczbą e do liczenia takich granic, ale mi nie wychodzi to za bardzo. Mógłby ktoś to jakoś rozpisać?
Z góry dziękuję za pomoc! :)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2021, o 22:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27887
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4642 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: Jan Kraszewski » 28 sty 2021, o 22:34

Pokaż swoje rachunki...

JK

Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: Maradona126 » 28 sty 2021, o 22:48

Jan Kraszewski pisze:
28 sty 2021, o 22:34
Pokaż swoje rachunki...

JK
a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony po raz drugi i liczenia jeszcze raz de I'Hospitala chyba nie ma sensu, w złą stronę chyba idę.
b)
Po zastosowaniu de I'Hospitala wychodzi takie coś \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{ \frac{1}{\cos ^{2}x }-1 }{\tg x + x\cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} } }\) i tutaj też chyba średnio stosować jeszcze raz de I'Hospitala. Może w tych przykładach trzeba zastosować jakieś przekształcenia, o których nie wiem.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2021, o 22:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27887
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4642 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: Jan Kraszewski » 28 sty 2021, o 22:55

Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 22:48
a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony
Po pierwsze, nie wiemy, czy to poprawny wynik, bo nie widzimy, jak do niego dochodzisz.
Po drugie, jeśli poprawny, to nie wychodzi symbol nieoznaczony.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19418
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: a4karo » 28 sty 2021, o 23:24

Sam de l'Hospital to nie maszynka, która załatwia wszystko. Czasem trzeba włączyć myślenie. Nie przyszło Ci do głowy przekształcenie tego czteropiętrowca?

Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: Maradona126 » 29 sty 2021, o 00:05

a4karo pisze:
28 sty 2021, o 23:24
Sam de l'Hospital to nie maszynka, która załatwia wszystko. Czasem trzeba włączyć myślenie. Nie przyszło Ci do głowy przekształcenie tego czteropiętrowca?
To jak to można przekształcić tak żeby nie wychodził symbol nieoznaczony?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27887
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4642 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: Jan Kraszewski » 29 sty 2021, o 01:46

Maradona126 pisze:
29 sty 2021, o 00:05
To jak to można przekształcić tak żeby nie wychodził symbol nieoznaczony?
A spróbowałeś czegokolwiek? Bo na razie cały czas czekasz, aż ktoś Ci pokaże.

JK

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: pkrwczn » 29 sty 2021, o 07:48

Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 22:28
a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(\tg x) ^{x} }\)
Ta granica nie istnieje, powinno chyba być \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^+}(\tg x) ^{x} }\), czyli granica prawostronna.
Jan Kraszewski pisze:
28 sty 2021, o 22:55
Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 22:48
a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony
Po pierwsze, nie wiemy, czy to poprawny wynik, bo nie widzimy, jak do niego dochodzisz.
Po drugie, jeśli poprawny, to nie wychodzi symbol nieoznaczony.

JK
Wychodzi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \infty }{- \infty }\right] }\) albo \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right] }\).
Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 22:48
no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony po raz drugi i liczenia jeszcze raz de I'Hospitala chyba nie ma sensu, w złą stronę chyba idę.
Dobrze robisz. Policz de l'Hospitala po raz drugi i Ci wyjdzie.

Dodano po 22 minutach 11 sekundach:
W b) też umiesz zrobić podwójnym l'Hopitalem.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19418
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Reguła de I'Hospitala

Post autor: a4karo » 29 sty 2021, o 09:16

pkrwczn pisze:
29 sty 2021, o 08:10
Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 22:28
a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(\tg x) ^{x} }\)
Ta granica nie istnieje, powinno chyba być \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^+}(\tg x) ^{x} }\), czyli granica prawostronna.
Granicę liczy się po argumentach należących do dziedziny, a dziedziną tej funkcji jest zbiór ...
Jan Kraszewski pisze:
28 sty 2021, o 22:55
Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 22:48
a)
Moment w którym się zatrzymuje wychodzi mi takie coś po zastosowaniu reguły de I'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } } }\) no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony
Po pierwsze, nie wiemy, czy to poprawny wynik, bo nie widzimy, jak do niego dochodzisz.
Po drugie, jeśli poprawny, to nie wychodzi symbol nieoznaczony.

JK
Wychodzi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \infty }{- \infty }\right] }\) albo \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right] }\).
Powtórzę: kiedyś trzeba włączyć myślenie. Czyżbyś uważał, że `x/x` to symbol nieoznaczony?

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{\tg x\cdot\cos^{2}x } }{ \frac{-1}{x ^{2} } }=-\frac{x^2}{\sin x\cos x}=-\frac{x}{\sin x}\frac{x}{\cos x}\to0}\)

Jak widać, kolejna rada jest zbędna
Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 22:48
no i tutaj wychodzi symbol nieoznaczony po raz drugi i liczenia jeszcze raz de I'Hospitala chyba nie ma sensu, w złą stronę chyba idę.
Dobrze robisz. Policz de l'Hospitala po raz drugi i Ci wyjdzie.

Dodano po 22 minutach 11 sekundach:
W b) też umiesz zrobić podwójnym l'Hopitalem.
Wcześniej zamień tangens na iloraz sinusa i kosinusa i uprość maksymalnie

ODPOWIEDZ