Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: Maradona126 » 28 sty 2021, o 20:49

Cześć,
Mam zadanie dobrać parametr \(\displaystyle{ a}\) tak, aby funkcja \(\displaystyle{ f}\) była ciągła.

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{2 ^{ \frac{1}{x} }+ \cos x }{3 ^{ \frac{1}{x} }-a } &\text{dla }x<0 \\ 3 ^{x} +1 &\text{dla }x\ge 0. \end{cases} }\)

Dziedzina liczby rzeczywiste.
Mi wyszło \(\displaystyle{ a=- \frac{1}{2} }\), ale nie jestem pewien wyniku.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2021, o 22:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19418
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: a4karo » 28 sty 2021, o 20:51

To pokaż rachunki, sprawdzimy

Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: Maradona126 » 28 sty 2021, o 21:00

a4karo pisze:
28 sty 2021, o 20:51
To pokaż rachunki, sprawdzimy
Pytam się czy wynik jest dobry. Bo trochę by było pisania.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19418
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: a4karo » 28 sty 2021, o 21:03

A myślisz, że my tak z głowy?

Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: Maradona126 » 28 sty 2021, o 21:10

a4karo pisze:
28 sty 2021, o 21:03
A myślisz, że my tak z głowy?
No nie, ale łatwiej to tak rozwiązać na kartce sprawdzić jaki jest wynik, niż zapisywać wszystko tutaj.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23265
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3197 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: piasek101 » 28 sty 2021, o 21:16

Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 21:00
Pytam się czy wynik jest dobry. Bo trochę by było pisania.
Obliczałeś (chyba) jakąś granicę - nie ma dużo pisania aby ją pokazać.

Sam wynik jest ok (wg mnie), co nie oznacza poprawności metody jaką zastosowałeś.

Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: Maradona126 » 28 sty 2021, o 21:37

piasek101 pisze:
28 sty 2021, o 21:16
Maradona126 pisze:
28 sty 2021, o 21:00
Pytam się czy wynik jest dobry. Bo trochę by było pisania.
Obliczałeś (chyba) jakąś granicę - nie ma dużo pisania aby ją pokazać.

Sam wynik jest ok (wg mnie), co nie oznacza poprawności metody jaką zastosowałeś.
Obliczyłem dwie granice prawo i lewostronne i wartość funkcji dla 0. I potem równanie z niewiadomą a.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23265
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3197 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: piasek101 » 28 sty 2021, o 21:43

No to niepotrzebnie (czyli masz błąd w metodzie) liczyłeś dwie granice.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27887
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4642 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: Jan Kraszewski » 28 sty 2021, o 22:18

Formalnie rzecz biorąc - potrzebnie. Ograniczenie się do liczenia jednej granicy wymaga dodatkowego przypuszczenia, że szukane \(\displaystyle{ a}\) istnieje. Oczywiście, treść zadania sugeruje, że tak jest, ale jest to wniosek pozamerytoryczny.

JK

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23265
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3197 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: piasek101 » 28 sty 2021, o 22:28

Uważałem, że nie -przecież dla zera określona jest. [edit] Ściślej dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27887
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4642 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: Jan Kraszewski » 28 sty 2021, o 22:32

Masz rację.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19418
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: a4karo » 28 sty 2021, o 22:35

piasek101 pisze:
28 sty 2021, o 22:28
Uważałem, że nie -przecież dla zera określona jest. [edit] Ściślej dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\).
Fakt, że funkcja jest określona w zerze nie oznacza, że jest prawostronnie ciągła. Ta jest, ale przynajmniej taką uwagę należy w rozwiązaniu umieścić.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23265
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3197 razy

Re: Dobrać parametr tak aby funkcja była ciągła

Post autor: piasek101 » 28 sty 2021, o 22:36

Przecież edytowałem.

Aaa i nie podawałem rozwiązania.

ODPOWIEDZ