Obliczanie granicy funkcji

[bartekkowal]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{x-4}-\frac{1}{\ln(x-3)}\right)}\)

[Premislav]

Dla ułatwienia można podstawić \(\displaystyle{ t=x-4}\) i sprowadzić do wspólnego mianownika, a potem to idzie z przybliżenia
\(\displaystyle{ \ln(1+t)\approx t-\frac{t^{2}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ t}\) w okolicach zera (ściśle, jest to wniosek ze wzoru Taylora i można to porządniej zapisać jako \(\displaystyle{ \ln(1+t)=t-t^{2}+o\left(t^{2}\right)}\)).

Jak nie znasz lub nie chcesz używać takich szacowań, to użyj dwa razy tw. de l'Hospitala po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.

[bartekkowal]

Mógłbyś pokazać jak by to wyglądało na przykładzie de l'Hospitala

[Premislav]

Nie chce mi się tego porządnie pisać, z grubsza to wygląda tak:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{\ln(1+t)}\right)\\=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)-t}{t\ln(1+t)}=[H]=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{1}{1+t}-1}{\ln(1+t)+\frac{t}{1+t}}=[H]=\lim_{t\to 0}\frac{-\frac{1}{(1+t)^{2}}}{\frac{1}{1+t}+\frac{1}{(1+t)^{2}}}=-\frac{1}{2}}\)