Matematyka.pl

Poproszę o pomoc,
Muszę znaleść punkty skupienia zbioru
\(\displaystyle{
A =\left\{ \frac{n^2\cdot k}{n^4+k^2} \ : \ n, k \in \mathbb{N}\right\}
}\)

Te punkty to \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Gdy \(\displaystyle{ k}\) jest ustaloną liczbą naturalną, zaś \(\displaystyle{ n\rightarrow +\infty}\), to dostajemy ciąg zbieżny do zera, podobnie gdy \(\displaystyle{ n}\) jest ustalone, zaś \(\displaystyle{ k\rightarrow +\infty}\). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ k=n^{2}}\) i \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną, to wartość tego ułamka jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Trzeba jeszcze w zasadzie udowodnić, że innych punktów skupienia nie ma.

Dodano po 13 minutach 51 sekundach:
A, ja przecież nie pamiętam definicji punktu skupienia. xD No to się popisałem. Moje uzasadnienie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest punktem skupienia tego zbioru, nadaje się do kosza (bo ja patrzyłem od strony nieskończenie wielu par indeksów, a nie nieskończenie wielu elementów zbioru, czyli liczb będących takimi ułamkami). Poprawne uzasadnienie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest punktem skupienia może być na przykład takie:
niech
\(\displaystyle{ k=n^{2}+1}\): otrzymujemy wówczas
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}k}{n^{4}+k^{2}}=\frac{n^{4}+n^{2}}{2n^{4}+2n^{2}+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n^{4}+2n^{2}+1}}\)
Dość jasne, że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n^{4}+2n^{2}+1}}\) jest różnowartościowy (jako ciąg rosnący) i zbieżny do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (np. z arytmetyki granic),
i każdy wyraz tego ciągu jest elementem zbioru \(\displaystyle{ \left\{\frac{n^{2}k}{n^{4}+k^{2}}: k,n\in \NN^{+}\right\}}\)
a zatem definicja granicy ciągu załatwia sprawę.

Premislav, dziękuję bardzo za pomoc!

A gdy `k=3n^2 +1`?

Dodano po 29 minutach 8 sekundach:
PO pierwsze wartość ułamka nie przekracza `1/2` (z nieówności AG)
Niech `\alpha` będzie dowolną dodatnią liczbą niewymierną. Rozpatrzmy pary \(\displaystyle{ (n,\lfloor \alpha n^2\rfloor)}\)

Wartość wyrażenia dla takiej pary wynosi
\(\displaystyle{ (*)\quad\frac{n^2\lfloor\alpha n^2\rfloor}{n^4+\lfloor\alpha n^2\rfloor^2}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha n^2-1<\lfloor \alpha n^2\rfloor< \alpha n^2}\), to z twierdzenie o trzech ciągach wnioskujemy, że \(\displaystyle{ (*)}\) dąży do \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{1+\alpha^2}}\)\\
Zbiór \(\displaystyle{ \left\{\frac{\alpha}{1+\alpha^2} : \alpha\in\RR_+\setminus\QQ\right\}}\) jest gęsty w `(0,1/2)` a zbiór punktów skupienia jest domknięty, więc zbiorem punktów skupienia naszego zbioru jet `[0,1/2]`

Ech, najpierw udowodnić, potem pisać, to jest dla mnie nauczka.

Żeby było śmieszniej, autorka posta pewnie nigdy już tu nie zajrzy. Chyba musisz przesłać duży bukiet kwiatów na przeprosiny.
Inna sprawa : gdybyś się za to nie zabrał, to ja też bym nie.

Moj dowód zawiera jedna lukę Napraw ją pls