Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa » 19 sty 2021, o 19:50

Cześć, mam do rozwiązanie granicę gdy n dąży do nieskończoności ciągu jak w tytule.

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ 1+ \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2 ^{n} } }{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n-1} } }\)


Wiem, ze najpierw muszę policzyć sumę tego ciągu, jednak mimo wszystko nie mogę doliczyć się rozwiazania.


\(\displaystyle{ S = 2 \cdot (1- \frac{1}{n^2} ) }\)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2021, o 19:58 przez szylvviaa, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3308
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz » 19 sty 2021, o 19:57

Nie musisz liczyć sumy z licznika bo \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{1}{ \sqrt{n+2}-\sqrt{n-1} } \rightarrow \infty }\)

szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa » 19 sty 2021, o 19:58

A dlaczego jest ta jedynka w liczniku?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3308
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz » 19 sty 2021, o 20:01

Bo w liczniku \(\displaystyle{ a_n}\) jest jedynka i jeszcze trochę innych dodatnich rzeczy. Ja się pozbyłem tych innych dodatnich rzeczy i zmniejszyłem ułamek tym samym.

szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa » 19 sty 2021, o 20:03

A jak formalnie rozpisać to zadanie? Bo w dalszym ciągu nie jest to dla mnie zrozumiałe. Byłabym wdzięczna za wytłumaczenie.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3308
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz » 19 sty 2021, o 20:24

To co napisałem jest dość formalne. Powołuje się na twierdzenie o dwóch granicach. A jeśli czegoś nie rozumiesz to powiedz dokładnie czego. I pokaż swoje obliczenia.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27887
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4642 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Jan Kraszewski » 19 sty 2021, o 20:29

Janusz Tracz pisze:
19 sty 2021, o 20:24
Powołuje się na twierdzenie o dwóch granicach.
A nie przypadkiem o dwóch ciągach?

JK

szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa » 19 sty 2021, o 20:45

Właśnie chyba tego twierdzenia o dwóch ciągach.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3308
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz » 19 sty 2021, o 22:10

Jan Kraszewski pisze:
19 sty 2021, o 20:29
Janusz Tracz pisze:
19 sty 2021, o 20:24
Powołuje się na twierdzenie o dwóch granicach.
A nie przypadkiem o dwóch ciągach?

JK
Ziemniak czy kartofel jedno i to samo. Ale ok mogą być ciągi.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27887
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4642 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Jan Kraszewski » 19 sty 2021, o 22:15

Janusz Tracz pisze:
19 sty 2021, o 22:10
Ziemniak czy kartofel jedno i to samo. Ale ok mogą być ciągi.
I tu się nie zgodzę, bo w tym twierdzeniu nie ma ani jednej granicy...

JK

ODPOWIEDZ