Zbadać czy istnieją granice.
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
Zbadać czy istnieją granice.
Hej,
Mam problem z przykładami:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{3}-x ^{2} } }\) tutaj mi w granicy w lewostronnej wychodzi \(\displaystyle{ - \infty }\), a w prawostronnej \(\displaystyle{ + \infty }\) czyli granice nie są takie same, a w odpowiedziach jest, że istnieje granica.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x \arctg\ \frac{1}{x} }\)
Tutaj wychodzi mi dobrze chciałbym tylko wiedzieć czy sposób rozwiązania jest dobry.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{-} } x \arctg\ \frac{1}{x}=0 ^{-} \cdot \arctg\ \frac{1}{0 ^{-} }= 0 ^{-} \cdot \arctg\ (- \infty )=0 ^{-} \cdot (-\arctg\ (\infty ))=0 ^{-} \cdot ( -\frac{ \pi }{2})=0 }\)
Prawostronnie wychodzi to samo tylko tam przy przejściach jest to zero prawostronne i dodatnie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), ale również na koniec wychodzi zero.
Mam problem z przykładami:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{3}-x ^{2} } }\) tutaj mi w granicy w lewostronnej wychodzi \(\displaystyle{ - \infty }\), a w prawostronnej \(\displaystyle{ + \infty }\) czyli granice nie są takie same, a w odpowiedziach jest, że istnieje granica.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x \arctg\ \frac{1}{x} }\)
Tutaj wychodzi mi dobrze chciałbym tylko wiedzieć czy sposób rozwiązania jest dobry.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{-} } x \arctg\ \frac{1}{x}=0 ^{-} \cdot \arctg\ \frac{1}{0 ^{-} }= 0 ^{-} \cdot \arctg\ (- \infty )=0 ^{-} \cdot (-\arctg\ (\infty ))=0 ^{-} \cdot ( -\frac{ \pi }{2})=0 }\)
Prawostronnie wychodzi to samo tylko tam przy przejściach jest to zero prawostronne i dodatnie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), ale również na koniec wychodzi zero.
Ostatnio zmieniony 6 sty 2021, o 16:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
Re: Zbadać czy istnieją granice.
Dobra czyli dobrze myślałem tylko w moich odpowiedziach jest źle.
A co do drugiego to mógłbyś pokazać jak wygląda poprawny zapis?
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
Re: Zbadać czy istnieją granice.
Nie wiem czy najprościej, Ty tutaj jakoś nierówność zrobiłeś, ja mam to sprawdzić za pomocą granic jednostronnych, ale mówisz, że ten mój zapis na pewno jest źle? Nie można tego tak podstawiać jak ja zrobiłem?
-
- Administrator
- Posty: 34226
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Zbadać czy istnieją granice.
Podstawiać nie można, bo formalnie to nie ma sensu. Twój zapis oddaje poprawną intuicję, ale jest fatalny.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Zbadać czy istnieją granice.
Mógłbyś np. tak
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x=0\\
\lim_{x\to 0^+} \arctan\frac1x=\lim_{t\to\infty} \arctan t=\frac{\pi}{2}}\)
Zatem na mocy twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+} x \arctan\frac1x=0\cdot\frac{\pi}{2}=0}\)
I na drugi raz, jak masz ograniczenie, że zadanie masz zrobić licząc granicę obustronną, to zechciej o tym wspomnieć
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x=0\\
\lim_{x\to 0^+} \arctan\frac1x=\lim_{t\to\infty} \arctan t=\frac{\pi}{2}}\)
Zatem na mocy twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+} x \arctan\frac1x=0\cdot\frac{\pi}{2}=0}\)
I na drugi raz, jak masz ograniczenie, że zadanie masz zrobić licząc granicę obustronną, to zechciej o tym wspomnieć
-
- Administrator
- Posty: 34226
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Zbadać czy istnieją granice.
Maradona126 pisze: ↑6 sty 2021, o 14:24\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{3}-x ^{2} } }\) tutaj mi w granicy w lewostronnej wychodzi \(\displaystyle{ - \infty }\), a w prawostronnej \(\displaystyle{ + \infty }\) czyli granice nie są takie same, a w odpowiedziach jest, że istnieje granica.
Hmm...
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{3}-x ^{2} }=\lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{2}(x-1)}=\lim_{ x\to 1} \frac{(x-1) ^{2} }{x ^{2}}\cdot\text{sgn}\,(x-1)=0 }\)
z tw. o trzech ciągach.
JK