Zbadać czy istnieją granice.

[Maradona126]

Hej,
Mam problem z przykładami:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{3}-x ^{2} } }\) tutaj mi w granicy w lewostronnej wychodzi \(\displaystyle{ - \infty }\), a w prawostronnej \(\displaystyle{ + \infty }\) czyli granice nie są takie same, a w odpowiedziach jest, że istnieje granica.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x \arctg\ \frac{1}{x} }\)
Tutaj wychodzi mi dobrze chciałbym tylko wiedzieć czy sposób rozwiązania jest dobry.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{-} } x \arctg\ \frac{1}{x}=0 ^{-} \cdot \arctg\ \frac{1}{0 ^{-} }= 0 ^{-} \cdot \arctg\ (- \infty )=0 ^{-} \cdot (-\arctg\ (\infty ))=0 ^{-} \cdot ( -\frac{ \pi }{2})=0 }\)
Prawostronnie wychodzi to samo tylko tam przy przejściach jest to zero prawostronne i dodatnie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), ale również na koniec wychodzi zero.

[a4karo]

W pierwszym przypadku granicą nie istnieje.


Drugie dobrze, ale zapis jest fatalny.

[Maradona126]

W pierwszym przypadku granicą nie istnieje

Drugie dobrze, ale zapis jest fatalny.

Dobra czyli dobrze myślałem tylko w moich odpowiedziach jest źle.
A co do drugiego to mógłbyś pokazać jak wygląda poprawny zapis?

[a4karo]

Chyba najprościej tak

\(\displaystyle{ \left|x\arctan \frac1x\right|\leq \frac{\pi}{2}|x|\to 0}\)

[Maradona126]

Chyba najprościej tak

\(\displaystyle{ \left|x\arctan \frac1x\right|\leq \frac{\pi}{2}|x|\to 0}\)

Nie wiem czy najprościej, Ty tutaj jakoś nierówność zrobiłeś, ja mam to sprawdzić za pomocą granic jednostronnych, ale mówisz, że ten mój zapis na pewno jest źle? Nie można tego tak podstawiać jak ja zrobiłem?

[Jan Kraszewski]

Podstawiać nie można, bo formalnie to nie ma sensu. Twój zapis oddaje poprawną intuicję, ale jest fatalny.

JK

[a4karo]

Mógłbyś np. tak
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x=0\\
\lim_{x\to 0^+} \arctan\frac1x=\lim_{t\to\infty} \arctan t=\frac{\pi}{2}}\)
Zatem na mocy twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+} x \arctan\frac1x=0\cdot\frac{\pi}{2}=0}\)

I na drugi raz, jak masz ograniczenie, że zadanie masz zrobić licząc granicę obustronną, to zechciej o tym wspomnieć

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{3}-x ^{2} } }\) tutaj mi w granicy w lewostronnej wychodzi \(\displaystyle{ - \infty }\), a w prawostronnej \(\displaystyle{ + \infty }\) czyli granice nie są takie same, a w odpowiedziach jest, że istnieje granica.

W pierwszym przypadku granicą nie istnieje.

Hmm...

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{3}-x ^{2} }=\lim_{ x\to 1} \frac{|x-1| ^{3} }{x ^{2}(x-1)}=\lim_{ x\to 1} \frac{(x-1) ^{2} }{x ^{2}}\cdot\text{sgn}\,(x-1)=0 }\)

z tw. o trzech ciągach.

JK