Granice, de l’Hospital
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 8 gru 2020, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 1 raz
Granice, de l’Hospital
Witam, kumpel dał mi do rozwiązania zadania z granic bo sam nie mógł sobie poradzić. Jak sie okazało ja tez nie mam pomysłu a wkręciłem się niemiłośiernie i juz drugi dzien siedzę nad nimi. Może ktoś tu będzie wiedział jak to ugryźć, jak przekształcić pręd liczeniem pochodnych. Dodam że powinny byc rozwiązane przy użyciu reguły de l’Hospitala.
1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tg(x)^\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}\)
2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}(x^2-1)^{\ln x}}\)
1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tg(x)^\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}\)
2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}(x^2-1)^{\ln x}}\)
Ostatnio zmieniony 8 gru 2020, o 21:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Granice, de l’Hospital
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } } = \exp \left( \ln \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } }\right) =\exp \left( \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }\right) }\)
teraz policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\). A wynikiem będzie \(\displaystyle{ e^g}\). Kolejny podpunkt podobnie: \(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{\ln x}=\exp \left( \ln \left( x^2-1\right)^{\ln x} \right) = \exp{ \left( \ln x \cdot \ln (x^2-1)\right) } }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 8 gru 2020, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 1 raz
Re: Granice, de l’Hospital
Próbowałem już tak, nie można policzyć tego z de l'Hospitala bo gdy w tej granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\) podstawimy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) za "x" to nie zajdzie warunek potrebny do obliczenia granicy za pomocą tego twierdzenia. Czyli ani \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{\infty}}\) ani \(\displaystyle{ \frac{ 0 }{0}}\) nie wyjdą tutaj. Chyba że są jakies inne warunki pozwalające na użycie tej reguły.Janusz Tracz pisze: ↑8 gru 2020, o 20:42 Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } } = \exp \left( \ln \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } }\right) =\exp \left( \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }\right) }\)teraz policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\). A wynikiem będzie \(\displaystyle{ e^g}\). Kolejny podpunkt podobnie:
\(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{\ln x}=\exp \left( \ln \left( x^2-1\right)^{\ln x} \right) = \exp{ \left( \ln x \cdot \ln (x^2-1)\right) } }\)
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Granice, de l’Hospital
Granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }}\) nie trzeba, a nawet nie da się liczyć z reguły de l'Hospitala. Uwzględniając uwagę Jana Kraszewskiego zapewne chodziło o \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2}^- } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }}\). Wystarczy wstawić i sprawić do czego dąży licznik i mianownik. Dostaniesz \(\displaystyle{ \frac{+ \infty }{0^-} }\) a to nie jest symbol nieoznaczony tylko \(\displaystyle{ - \infty }\).Dziecu pisze: ↑8 gru 2020, o 20:53Próbowałem już tak, nie można policzyć tego z de l'Hospitala bo gdy w tej granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\) podstawimy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) za "x" to nie zajdzie warunek potrebny do obliczenia granicy za pomocą tego twierdzenia. Czyli ani \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{\infty}}\) ani \(\displaystyle{ \frac{ 0 }{0}}\) nie wyjdą tutaj. Chyba że są jakies inne warunki pozwalające na użycie tej reguły.Janusz Tracz pisze: ↑8 gru 2020, o 20:42 Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } } = \exp \left( \ln \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } }\right) =\exp \left( \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }\right) }\)teraz policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\). A wynikiem będzie \(\displaystyle{ e^g}\). Kolejny podpunkt podobnie:
\(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{\ln x}=\exp \left( \ln \left( x^2-1\right)^{\ln x} \right) = \exp{ \left( \ln x \cdot \ln (x^2-1)\right) } }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 8 gru 2020, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 1 raz
Re: Granice, de l’Hospital
Tylko żę wynik ma wyjść \(\displaystyle{ e^{2} }\), wiec granica wykładnika powinna wyjść 2.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy