Granice, de l’Hospital

[Dziecu]

Witam, kumpel dał mi do rozwiązania zadania z granic bo sam nie mógł sobie poradzić. Jak sie okazało ja tez nie mam pomysłu a wkręciłem się niemiłośiernie i juz drugi dzien siedzę nad nimi. Może ktoś tu będzie wiedział jak to ugryźć, jak przekształcić pręd liczeniem pochodnych. Dodam że powinny byc rozwiązane przy użyciu reguły de l’Hospitala.

1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tg(x)^\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}(x^2-1)^{\ln x}}\)

[Janusz Tracz]

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } } = \exp \left( \ln \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } }\right) =\exp \left( \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }\right) }\)

teraz policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\). A wynikiem będzie \(\displaystyle{ e^g}\). Kolejny podpunkt podobnie:

\(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{\ln x}=\exp \left( \ln \left( x^2-1\right)^{\ln x} \right) = \exp{ \left( \ln x \cdot \ln (x^2-1)\right) } }\)

[Dziecu]

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } } = \exp \left( \ln \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } }\right) =\exp \left( \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }\right) }\)

teraz policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\). A wynikiem będzie \(\displaystyle{ e^g}\). Kolejny podpunkt podobnie:

\(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{\ln x}=\exp \left( \ln \left( x^2-1\right)^{\ln x} \right) = \exp{ \left( \ln x \cdot \ln (x^2-1)\right) } }\)

Próbowałem już tak, nie można policzyć tego z de l'Hospitala bo gdy w tej granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\) podstawimy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) za "x" to nie zajdzie warunek potrebny do obliczenia granicy za pomocą tego twierdzenia. Czyli ani \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{\infty}}\) ani \(\displaystyle{ \frac{ 0 }{0}}\) nie wyjdą tutaj. Chyba że są jakies inne warunki pozwalające na użycie tej reguły.

[janusz47]

Zadanie 1

Wykonujemy podstawienie \(\displaystyle{ x - \frac{\pi}{2} = t .}\)

[Jan Kraszewski]

1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tg(x)^\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}\)

Tutaj powinna być granica jednostronna, żeby podstawa była dodatnia.

JK

[Janusz Tracz]

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } } = \exp \left( \ln \left( \tg x\right)^{ \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} } }\right) =\exp \left( \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }\right) }\)

teraz policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\). A wynikiem będzie \(\displaystyle{ e^g}\). Kolejny podpunkt podobnie:

\(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{\ln x}=\exp \left( \ln \left( x^2-1\right)^{\ln x} \right) = \exp{ \left( \ln x \cdot \ln (x^2-1)\right) } }\)

Próbowałem już tak, nie można policzyć tego z de l'Hospitala bo gdy w tej granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }=g}\) podstawimy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) za "x" to nie zajdzie warunek potrebny do obliczenia granicy za pomocą tego twierdzenia. Czyli ani \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{\infty}}\) ani \(\displaystyle{ \frac{ 0 }{0}}\) nie wyjdą tutaj. Chyba że są jakies inne warunki pozwalające na użycie tej reguły.

Granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }}\) nie trzeba, a nawet nie da się liczyć z reguły de l'Hospitala. Uwzględniając uwagę Jana Kraszewskiego zapewne chodziło o \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2}^- } \frac{\ln \tg x}{x- \frac{ \pi }{2} }}\). Wystarczy wstawić i sprawić do czego dąży licznik i mianownik. Dostaniesz \(\displaystyle{ \frac{+ \infty }{0^-} }\) a to nie jest symbol nieoznaczony tylko \(\displaystyle{ - \infty }\).

[Dziecu]

Tylko żę wynik ma wyjść \(\displaystyle{ e^{2} }\), wiec granica wykładnika powinna wyjść 2.

[Kartezjusz]

Wg Wolphrama granica nie istnieje