Granica ciągu z liczbą e

[koral293]

Witam, mam problem z rozwiązaniem nastepującej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{3n+1}{3n-1} \right)^{-3 n^{2}+1 } }\)
Przekształciłem to do formy \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{2}{3n-1} \right) ^{3n-1} \right] ^{ \frac{- 3n^{2}+1 }{3n-1} } }\)
jednak dalej nie jestem w stanie tego obliczyć.
Próbowałem policzyć granicę wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{- 3n^{2}+1 }{3n-1} }\) jednak wychodzą mi symbole nieoznaczone.

[Premislav]

Ta granica, którą próbowałeś policzyć i wyszły Ci symbole nieoznaczone, wynosi \(\displaystyle{ -\infty}\). Wskazówka: \(\displaystyle{ -3n^{2}+1=\left(-n-\frac{1}{3}\right)(3n-1)+\frac{2}{3}}\)

[koral293]

Co w przypadku gdy wychodzi \(\displaystyle{ - \infty }\)? Czy wynikiem bez względu na \(\displaystyle{ n}\) będzie \(\displaystyle{ e ^{2} }\)?

[Premislav]

No nie, oczywiście, że nie. Podstawa, czyli \(\displaystyle{ \left(1+\frac{2}{3n-1}\right)^{3n-1}}\) dąży do \(\displaystyle{ e^{2}}\) (czyli do stałej różnej od zera i jedynki), a wykładnik, czyli
\(\displaystyle{ \frac{-3n^{2}+1}{3n-1}}\) dąży do \(\displaystyle{ -\infty}\), więc całość dąży do zera.