Udowodnić, że granica nie istnieje

[qwerty355]

Mam problem z zadaniem, w którym trzeba udowodnić, że granica nie istnieje, wskazując dwa odpowiednie ciągi.
1. \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2} \frac{1}{1 + e^{ \frac{1}{x-2}}} }\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \cos \sqrt{x} }\)

Wiem, że w pierwszym przypadku powinien dobrać dwa różne ciągi \(\displaystyle{ x_n '}\) i \(\displaystyle{ x_n ''}\) tak, aby były zbieżne do \(\displaystyle{ 2}\) przy \(\displaystyle{ n \to\infty }\), natomiast w drugim przypadku powinny one dążyć do nieskończoności, jednak nie wiem, jak się za to zabrać. W jaki sposób mogę wyznaczyć dwa takie ciągi? Czy istnieje na to jakiś sposób?

[Jan Kraszewski]

W 2) wskaż dwa ciągi rozbieżne do nieskończoności takie, że na wyrazach pierwszego funkcja \(\displaystyle{ \cos\sqrt{x}}\) przyjmuje zawsze wartość \(\displaystyle{ 0}\), a na wyrazach drugiego - wartość \(\displaystyle{ 1}\).

JK

[qwerty355]

Czy mogą być to ciągi \(\displaystyle{ (2n\pi)^2 }\) oraz \(\displaystyle{ (\frac{\pi}{2} + n\pi)^2 }\)? Czy muszą to koniecznie być ciągi, dla których funckja \(\displaystyle{ \cos \sqrt{x} }\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 0 }\) i \(\displaystyle{ 1 }\)? Mógłbym wskazać zamiast tego ciągi, dla których ta funkcja przyjmuje np. wartości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[]{3} }{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }\)?

[Jan Kraszewski]

Czy mogą być to ciągi \(\displaystyle{ (2n\pi)^2 }\) oraz \(\displaystyle{ (\frac{\pi}{2} + n\pi)^2 }\)?

Mogą.

Czy muszą to koniecznie być ciągi, dla których funckja \(\displaystyle{ \cos \sqrt{x} }\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 0 }\) i \(\displaystyle{ 1 }\)?

Nie muszą.

Mógłbym wskazać zamiast tego ciągi, dla których ta funkcja przyjmuje np. wartości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[]{3} }{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }\)?

Tak.

Ogólnie chodzi o to, by ciągi \(\displaystyle{ \cos\sqrt{a_n}}\) i \(\displaystyle{ \cos\sqrt{b_n}}\) były zbieżne do różnych granic. Najprościej osiągnąć to, gdy te ciągi są stałe.

JK

[qwerty355]

Dziękuję za pomoc.