Granica funkcji

[edyta111]

Witam, proszę o wyjaśnienie. Liczę granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x+5}{\sqrt{x^2+1}}}\) i po wyłączeniu \(\displaystyle{ x}\) z licznika i mianownika oraz skróceniu otrzymuję \(\displaystyle{ 2}\). Dlaczego powinno wyjść \(\displaystyle{ -2}\)?

[Tmkk]

a ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}}\), jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą ujemną?

[edyta111]

x lub -x

[a4karo]

A kto decyduje o tym czy plus czy minus?

[edyta111]

oczywiście x jest ujemny, ale wyłączamy go z licznika i mianownika i skracamy. W tym miejscu nie rozumiem dlaczego zostaje minus.

[a4karo]

Nie o to było pytanie. Pytałem kiedy `\sqrt {x^2} =x` a kiedy `-x`

[edyta111]

W przypadku tej funkcji nie widzę czegoś, co wykluczyłoby którąkolwiek z tych dwóch możliwości.

[a4karo]

Pokaz szczegółowe rachunki

Dodano po 35 sekundach:

W przypadku tej funkcji nie widzę czegoś, co wykluczyłoby którąkolwiek z tych dwóch możliwości.

Czyli rzucamy monetą?

[edyta111]

Wolałabym wytłumaczenie

[Tmkk]

Twój problem nie leży w liczeniu granic, tylko w szkolnych przekształceniach.

Nie jest prawdą, że jeśli \(\displaystyle{ x < 0}\), to \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}}\) może być równy \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ -x}\). Tylko jedna z tych opcji jest poprawna - która? Podstaw sobie jakieś wartości \(\displaystyle{ x}\) i się zastanów.

[edyta111]

czyli to musi być x, ale nadal nie rozumiem tej granicy

[Jan Kraszewski]

czyli to musi być x,

To nieprawda. Może powiesz, jak do tego doszłaś?

JK

[edyta111]

np. \( \sqrt{(-2)^2}= \sqrt{4}=2 \vee -2\). Ponieważ \(\displaystyle{ x<0}\), więc \(\displaystyle{ x=-2}\), czyli rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x}\).

[Jan Kraszewski]

np. \( \sqrt{(-2)^2}= \sqrt{4}=2 \vee -2\).

Nieee!
Mamy \(\displaystyle{ \sqrt{4}=2}\), natomiast nieprawdą jest, że \(\displaystyle{ \sqrt{4}=-2}\) - pierwiastek arytmetyczny jest liczbą NIEUJEMNĄ!

Ponieważ x<0, więc x=-2, czyli rozwiązaniem jest x.

No skąd!

Najwyraźniej zapomniałaś o bardzo podstawowej zależności: \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|, }\) zatem jeśli \(\displaystyle{ x<0}\), to \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=-x }\).

JK

[edyta111]

Ojej, ale błąd zrobiłam. Dziękuję bardzo