Wyznaczyć wartość parametru a i b ,aby dana funkcja była ciągła

[help_me]

Wyznaczyć wartość parametru a i b ,aby dana funkcja była ciągła :

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin2x}{x},x<0 \\ a, x=0 \\ \frac{b ^{x} -1}{2 ^{x}-1 },x>0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{\sin2x}{x} = 2}\)
więc \(\displaystyle{ a =2}\) , ale jak wyliczyć parametr \(\displaystyle{ b}\)?

[Janusz Tracz]

Aby \(\displaystyle{ f}\) była ciągła w \(\displaystyle{ 0}\) musi zajść:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{ x\to 0^+} \frac{b^x-1}{2^x-1} =a}\)

jak słusznie zauważyłeś \(\displaystyle{ a=2}\) zatem trzeba tak dobrać \(\displaystyle{ b}\) aby:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^+} \frac{b^x-1}{2^x-1} =2}\)

A granicę po lewej można zapisać jako:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^+} \frac{b^x-1}{2^x-1}=\lim_{ x\to 0^+} \frac{ \frac{b^x-b^0}{x-0} }{ \frac{2^x-2^0}{x-0} }= \frac{\left( b^x\right) '\Bigg|_{x=0}}{\left( 2^x\right) '\Bigg|_{x=0}} = \frac{\ln b}{\ln 2} }\)

stąd już łatwo widać, że \(\displaystyle{ b}\) powinno się równać \(\displaystyle{ 2^2}\), czyli \(\displaystyle{ b=4}\).

[help_me]

W jaki sposób wychodzi że \(\displaystyle{ b = 2^{2} =4}\) ? Skąd ?

Dodano po 5 minutach 53 sekundach:
Dobrzę , już widzę , dziękuję za pomoc