Prosta granica

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Prosta granica

Post autor: Thingoln »

Witajcie. Rozwiązywałem takie zadanie:
Obliczyć granicę ciągu o wyrazach \(\displaystyle{ a_n = \frac{n}{2^n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \setminus \{ 1 \}}\).
Udowodniłem, że granicą ciągu \(\displaystyle{ b_n = \frac{1}{n}}\) jest \(\displaystyle{ 0}\) i spróbowałem zastosować własności granic, tzn. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n}\) w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} 0 = 0}\)
Nie jestem jednak pewny, czy taki sposób jest poprawny, głównie przez to, że \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności i może nie można rozbijać ułamka na mniejsze. Będę wdzięczny za odpowiedź, czy jest to poprawne rozumowanie, a jeśli nie, to dlaczego. :)

Jako kontrprzykład mógłbym pewnie podać ciąg \(\displaystyle{ d_n = \frac{2n}{n}}\), więc podejrzewam, że rzeczywiście jest to nieprawidłowy sposób.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Prosta granica

Post autor: Jan Kraszewski »

Niepoprawny.

Wytłumacz dokładnie, co tu zrobiłeś:
Thingoln pisze: 3 lis 2020, o 15:44\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}}\)
JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Prosta granica

Post autor: Janusz Tracz »

To rozwiązanie jest niepoprane bo z kilku istotnych powodów:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Wzór \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n}\) działa, gdy są spełnione pewne założenia. A czy tu takie założenia są spełnione?

\(\displaystyle{ \bullet}\) Wzór \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n}\) pozwala zapisać granicę skończonej sumy ciągów jako skończoną sumę granic (gdy spełnione są wspomniane wyżej założenia). Ale Ty chcesz to zapisać jako nieskończoną sumę.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zapis \(\displaystyle{ \red{\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} 0 = 0}}\) jest błędny wręcz (no offence) bezsensowny. Trudno zrozumieć co się tu stało. Można się tylko domyślać, że chciałeś zrobić coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} =\lim_{n \to \infty} \frac{1+1+1+...+1}{2^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}+\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}+...+\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} =0+0+...+0=0 }\)


co jest błędem ponieważ jest to ukryte twierdzenie jakoby: \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty =0}\). Jak sam słusznie zauważyłeś w kontrprzykładzie.

PS Jak zrobić to zadanie. Udowodnij np. indukcyjnie, że od pewnego momentu zachodzi \(\displaystyle{ 2^n>n^2}\). Albo jak nie indukcyjnie to zapisz \(\displaystyle{ 2^n=(1+1)^n=...}\) i kombinuj z szacowaniem.
Ostatnio zmieniony 3 lis 2020, o 16:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Prosta granica

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n}{2^{n}}, }\)


Metoda pierwsza

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)2^{n}}{n\cdot 2^{n+1}}= \frac{1}{2}\frac{n+1}{n} = \frac{1}{2} \left(1+\frac{1}{n}\right) <1 }\)

dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n> n_{0}. }\)

To oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) jest malejący poczynając od \(\displaystyle{ n\geq n_{0}. }\)

Niech \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq s < 1, }\)

gdzie

\(\displaystyle{ s }\) jest dowolnie wybraną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}, 1\right) }\)

Stąd dla \(\displaystyle{ n\geq n_{0}}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 0 < a_{n_{0} +1} \leq s\cdot a_{n_{0}}, }\)

\(\displaystyle{ 0 < a_{n_{0}+2} \leq s\cdot a_{n_{0}+1} \leq s^2 a_{n_{0}} ,}\)

\(\displaystyle{ ................................}\)

\(\displaystyle{ 0 < a_{n_{0} +k} \leq s\cdot a_{n_{0}+k -1} \leq ...\leq s^{k}a_{n_{0}}. }\)

Ponieważ

\(\displaystyle{ \lim_{k\to \infty} s^{k} = 0, }\)

więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{2^{n}} = 0. }\)

Metoda druga

Korzystamy z twierdzenia Stolza

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{n+1 -n}{2^{n+1} - 2^{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2^{n}(2 - 1)} = \frac{1}{2-1} \cdot \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 0.}\)
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Prosta granica

Post autor: Thingoln »

Dziękuję za odpowiedzi. Tak, pisząc \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}}\) miałem na myśli \(\displaystyle{ \frac{n}{2^n} = \frac{1+1+\dots+1}{2^n}}\) i potem rozłożenie na pojedyncze ułamki. Spróbowałem jednak metody z dwumianem Newtona i rzeczywiście poszło sprawnie: sprawdzamy, że ciąg jest malejący oraz zauważamy, że
\(\displaystyle{ 2^n = (1+1)^n = 1+ {n \choose 1} + {n \choose 2} + \dots + {n \choose n} > {n \choose 2} = \frac{n(n-1)}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n > 3}\)
stąd
\(\displaystyle{ 0 < \frac{n}{2^n} < \frac{2n}{n(n-1)} = \frac{2}{n-1}}\)
a \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n-1} = 2 \cdot}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n-1}}\) \(\displaystyle{ = 2 \cdot}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}\) \(\displaystyle{ = 2 \cdot 0 = 0}\)
A więc z twierdzenia o trzech ciągach \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = 0}\). Mam tylko pytanie: czy przejście, które zaznaczyłem na czerwono wymaga dodatkowego uzasadnienia? Wiem, że w tym konkretnym przypadku można zastosować tw. o trzech ciągach przy takiej nierówności
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \le \frac{1}{n-1} \le \frac{2}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\)

Przy okazji spróbowałem jeszcze w taki sposób rozwiązać to zadanie (na podstawie pewnych wskazówek ze zbioru zadań):
Jako, że jest to ciąg malejący i ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\), jest on zbieżny do pewnej liczby \(\displaystyle{ g}\). Ponadto \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \ \ \ (*)}\) (czy jest to oczywista równość, czy może wymaga uzasadnienia?). Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{2^n} + \frac{1}{2^{n+1}} \right) = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} g + 0 = \frac{1}{2} g}\)
Stąd i z \(\displaystyle{ (*)}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ g = \frac{1}{2} g \iff g = 0}\)
Czy wygląda to w porządku?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Prosta granica

Post autor: Dasio11 »

Jest w porządku. Odpowiedź na oba pytania o konieczność dodatkowego uzasadnienia: powinieneś umieć to udowodnić, ale raczej nie umieszczać tego w dowodzie, bo to bardzo łatwe i standardowe rzeczy.
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Prosta granica

Post autor: Thingoln »

Dziękuję bardzo za pomoc. :)
ODPOWIEDZ