Udowodniłem, że granicą ciągu \(\displaystyle{ b_n = \frac{1}{n}}\) jest \(\displaystyle{ 0}\) i spróbowałem zastosować własności granic, tzn. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n}\) w taki sposób:Obliczyć granicę ciągu o wyrazach \(\displaystyle{ a_n = \frac{n}{2^n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \setminus \{ 1 \}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{k=2}^{\infty} 0 = 0}\)
Nie jestem jednak pewny, czy taki sposób jest poprawny, głównie przez to, że \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności i może nie można rozbijać ułamka na mniejsze. Będę wdzięczny za odpowiedź, czy jest to poprawne rozumowanie, a jeśli nie, to dlaczego.
Jako kontrprzykład mógłbym pewnie podać ciąg \(\displaystyle{ d_n = \frac{2n}{n}}\), więc podejrzewam, że rzeczywiście jest to nieprawidłowy sposób.