Udowodnij twierdzenie

[Iza8723]

Niech \(\displaystyle{ f: \left[ 0,1\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] }\) będzie funkcją ciągłą. Wykazać, że istnieje \(\displaystyle{ x_{0} \in \left[ 0,1\right]}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x _{0} )=x _{0} }\).

[Janusz Tracz]

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ F(x):=f(x)-x}\). Zauważ, że gdyby \(\displaystyle{ F(0)}\) lub \(\displaystyle{ F(1)}\) było zerem to koniec dowodu. Nich zatem \(\displaystyle{ F(x)}\) nie będzie zerem na krańcach dziedziny. Wtedy jednak \(\displaystyle{ F(0)>0}\) a \(\displaystyle{ F(1)<0}\). Zatem mamy tezę.

[a4karo]

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ F(x):=f(x)-x}\). Zauważ, że gdyby \(\displaystyle{ F(0)}\) lub \(\displaystyle{ F(1)}\) było zerem to koniec dowodu. Nich zatem \(\displaystyle{ F(x)}\) nie będzie zerem na krańcach dziedziny. Wtedy jednak \(\displaystyle{ F(0)>0}\) a \(\displaystyle{ F(1)<0}\). Zatem mamy tezę.

Jeszcze nie. Na coś się tu trzeba powołać

[Iza8723]

Wtedy jednak \(\displaystyle{ F(0)>0}\) a \(\displaystyle{ F(1)<0}\). Zatem mamy tezę.

Nie rozumiem skąd wynika, że \(\displaystyle{ F(1)<0}\) . I na jakie twierdzenie trzeba się powołać, żeby mieć tezę ?

Dodano po 12 minutach 46 sekundach:

Jeszcze nie. Na coś się tu trzeba powołać

Na tw. Darboux ?

[a4karo]

Tak, na Darboux.

`F(1)=f(1)-1` . Dalej myśl...

[Iza8723]

Już wiem, dzięki