Tw. Darboux

[dominx99]

Witam,
Mam problem z wykazaniem, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie: Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ x^{10} = 1 - x }\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] }\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jedyne co mi przychodzi do głowy to, że istnieje takie f(c), które należy do przedziału jeżeli f(a) * f(b) < 0 gdzie \(\displaystyle{ (a, b) \in \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] }\)

\(\displaystyle{ f( \frac{1}{2} ) = (\frac{1}{2})^{10} + \frac{1}{2} - 1 < 0 }\)

\(\displaystyle{ f( 1 ) = 1 + 1 - 1 > 0 }\)

\(\displaystyle{ f( \frac{1}{2} ) * f(1) < 0 }\)

Więc na mocy tw. Darboux wynika z tego, że funkcja ma co najmniej jedno rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] }\)?

Jak wykazać, że ma dokładnie jedno rozwiązanie?

[piasek101]

Obadać jak zachowuje się \(\displaystyle{ g(x)=x^{10}+x-1}\) w tym przedziale.

[dominx99]

Wykazanie, że funkcja g(x) jest rosnąca np. z pochodnej wystarczy jako dowód, że ma dokładnie jedno rozwiązanie?

[piasek101]

Tak.