Problem z granicą funkcji.

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
jjorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 14 lip 2020, o 06:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Problem z granicą funkcji.

Post autor: jjorek »

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+ } \left( \frac{1}{2} \left( 2^x + 3^x \right) \right)^\frac{1}{x}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+ } ( \frac{1}{2} ( 2^{x} + 3^{x}))^ \frac{1}{x}=\left[ 1^{ \infty }\right] = \lim_{ x\to 0+ } e^{( \frac{1}{2} ( 2^{x} + 3^{x}))^ \frac{1}{x}}=\lim_{ x\to 0+ } e^{ \frac{\frac{1}{2} ( 2^{x} + 3^{x})}{x} }=\left[ e^{ \frac{0}{0} }\right]=... }\)
Do usunięcia nieoznaczoności z wykładnika wykorzystaj regułę de l'Hopitala.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: Dasio11 »

kerajs pisze: 14 lip 2020, o 07:40\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+ } ( \frac{1}{2} ( 2^{x} + 3^{x}))^ \frac{1}{x}=\left[ 1^{ \infty }\right] = \lim_{ x\to 0+ } e^{( \frac{1}{2} ( 2^{x} + 3^{x}))^ \frac{1}{x}}}\)
Brakuje logarytmu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: a4karo »

Myślę, że warto tu przytoczyć ładny dowód pochodzący of Schaumbergera (N. Schaumberger, Power mean for zero exponent, Math. Mag. 69 (1975), 216)

Niech \(\displaystyle{ \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)}\) będzie `n`-ką liczb dodatnich i \(\displaystyle{ \mathbf{w}=(w_1,\dots,w_n)}\) będą dodatnie i takie, że \(\displaystyle{ \sum w_i=1}\)

Oznaczmy
\(\displaystyle{ A_r(\mathbf{x},\mathbf{w})=\begin{cases}\left(\sum_{i=1}^n w_ix_i^r\right)^{1/r} & r\neq 0\\ \prod_{i=1}^n x_i^{w_i} & r=0\end{cases}.}\)

Pokażemy, że \(\displaystyle{ \lim_{r\to 0^+} A_r(\mathbf{x},\mathbf{w})=A_0(\mathbf{x},\mathbf{w})}\)

Na mocy nierówności między ważoną średnią geometryczną i ważoną średnią arytmetyczną mamy nierówność \(\displaystyle{ A_0(\mathbf{x},\mathbf{w})\leq A_r(\mathbf{x},\mathbf{w})}\)
Niech \(\displaystyle{ v_i=\frac{w_ix_i^r}{\sum_{i=1}^n w_ix_i^r}.}\)
Wtedy `v_i>0` i `\sum v_i=1` i mamy taki ciąg nierówności:
\begin{align}A_0(\mathbf{x},\mathbf{w})&\leq& A_r(\mathbf{x},\mathbf{w})=\left(w_1x_1^r+\ldots+w_nx_n^r\right)^{1/r} \\
&=& \left(\frac {1} {\sum_{i=1}^n \dfrac{w_ix_i^r}{\sum_{i=1}^n w_ix_i^r}\dfrac{1}{x_i^r}}\right)^{1/r}\\
&=& \frac{1}{A_r(\mathbf{\frac{1}{x}},\mathbf{v_r})}\leq \frac{1}{A_0(\mathbf{\frac{1}{x}},\mathbf{v_r})}=A_0(\mathbf{x},\mathbf{v_r})\end{align}

i dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że `\lim_{r\to 0^+} \mathbf{v_r}=\mathbf{w}`

Podobny dowód można zrobić dla `r\to0^-`
jjorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 14 lip 2020, o 06:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: jjorek »

Dziękuję wszystkim :)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: janusz47 »

Popraw wartość wykładnika potęgi po zastosowaniu reguły H.
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: Lider_M »

Ja lubię korzystać z granic specjalnych typu \((1+\alpha)^{1/\alpha}\to 1, \dfrac{\ln(1+\alpha)}{\alpha}\to 1, \dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}-1}{\alpha}\to 1\) o ile \(\alpha\to 0\). Tutaj też się da z tego zrobić. Również twierdzenie zaprezentowane przez a4karo można z tych właśnie granic udowodnić.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: a4karo »

Coż, znaleźć te granicę używając szkolnych metod potrafi każdy jako tako obyty matematycznie student pierwszego roku.
Żeby zrobić to, co zrobił Schaumberger, trzeba dużo więcej. W takich rzeczach tkwi piękno matematyki

Dodano po 7 minutach 37 sekundach:
@LIder: popraw tę pierwszą granicę
beatrycze
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 29 cze 2020, o 21:02
Płeć: Kobieta
wiek: 35
Pomógł: 7 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: beatrycze »

Można uogólnić obliczenie granicy dla dowolnych podstaw potęg \(\displaystyle{ a> 0, \ \ b>0 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} \left ( \frac{ a^{x} +b^{x}}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \sqrt{a\cdot b}. }\)
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Re: Problem z granicą funkcji.

Post autor: Lider_M »

Dzięki @a4 za zauważenie, oczywiście powinno być \((1+\alpha)^{1/\alpha}\to\mathrm{e}\) o ile \(\alpha\to 0\).
ODPOWIEDZ