asymptoty | granice funkcji

[Elepet]

Witam wszystkich,
zwracam się z prośbą o pomoc przy następujących zadaniach. Ciężko mi w ogóle zacząć je robić z tego względu, że dostałem je od tak i mam sobie w jakiś sposób poradzić. Proszę o jakieś naprowadzenie, granice ciągów w miarę rozumiem, ale tutaj ręce opadają.

zad 1
Wyznacz asymptoty ukośne lub poziome funkcji

(próbowałem z delty wyznaczyć dziedzine, ale nie da rady, w pierwszym jest ujemna. W drugim wychodzi dziwna liczba z której nie da się wyciągnąć pierwiastka) Mogę w tym przypadku wyciągnąć X przed nawias ? Czy jest może inny sposób ?

a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{8x^2 + x + 1}{5x^2 - 3x + 13}}\)

b) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{7x^3}{9x^2 - 13x - 9}}\)

c) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sqrt{5x^2 + 14x + 14}}{7x - 14}}\)

zad 2
Wyznacz granicę funkcji w punkcie

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 5} \left(\frac{9x^2 - 45}{81x^2 - 2025}\right) = \frac{9x^2 - 45}{(9x^2 - 45)(9x^2 + 45)} =
\frac{1}{9x^2 + 45} = \frac{1}{270} }\)

Jest w porządku ?

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 3} \left(\frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + x - 12}\right)}\)

Tutaj z kolei również mogę \(\displaystyle{ x^2 }\) wyciągnąć przed nawias ?

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 4} \left(\frac{x^4 - 256}{x^2 + 11x - 60}\right)}\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \left(\frac{9x^2 - 3x + 13}{3x^2 +2x - 14}\right)}\)

zad 3
Wyznacz granicę w nieskończoności

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left(\sqrt{11x^2 + 7x + 9} - \sqrt{11x^2 - 2x + 4}\right)}\)

zad 4
Wyznacz granice

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 2x}{3x}\right)}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2 11x}{8x}\right)}\)

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 4x}{\sin 8x}\right)}\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tg 3x}{\sin 10x}\right)}\)

zad 5
Tylko wykładnik w
\(\displaystyle{ g = e^w }\)

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{3}{6x}\right)^{-x}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left(\frac{7x}{1 + 7x}\right)^{6x}}\)

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 6}\right)^{-3x}}\)

zad 6
Wyznacz granice

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 6^{+}} \left(\frac{1}{6 - x}\right)}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 4^{-}} \left(\frac{x^2 + 4x - 32}{x^2 + 7x - 44}\right)}\)


Z resztą zadań niestety mam taki problem, że mogę rozwiązać na parę sposobów ale nie mam pojęcia, który jest prawidłowy. Z góry dziękuję za wszelką pomoc przy zadaniach.

Pozdrawiam.

[Dasio11]

zad 1
(próbowałem z delty wyznaczyć dziedzine, ale nie da rady, w pierwszym jest ujemna.

Jak to nie da rady? Dziedziną jest zbiór takich \(\displaystyle{ x}\), dla których mianownik jest niezerowy. Skoro wyróżnik trójmianu w mianowniku wychodzi ujemny, to znaczy że ten trójmian nie ma miejsc zerowych, czyli dziedziną jest całe \(\displaystyle{ \RR}\).

W drugim wychodzi dziwna liczba z której nie da się wyciągnąć pierwiastka) Mogę w tym przypadku wyciągnąć X przed nawias ?

Pokaż, w jaki sposób wychodzi Ci dziwna liczba. Standardowa metoda dla asymptoty w nieskończoności:

\(\displaystyle{ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \ldots = \frac{7}{9} \\[4ex]
b = \lim_{x \to \infty} f(x) - ax = \ldots}\)

i analogicznie w minus nieskończoności.

zad 2
a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 5} \left(\frac{9x^2 - 45}{81x^2 - 2025}\right) = \frac{9x^2 - 45}{(9x^2 - 45)(9x^2 + 45)} =
\frac{1}{9x^2 + 45} = \frac{1}{270} }\)

Jest w porządku ?

Z jednym wyjątkiem - symbol granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 5}}\) musi występować (co najmniej) tak długo, jak wyrażenie zależy od \(\displaystyle{ x}\).

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 3} \left(\frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + x - 12}\right)}\)

Tutaj z kolei również mogę \(\displaystyle{ x^2 }\) wyciągnąć przed nawias ?

W sensie technicznym oczywiście możesz, ale w ten sposób nie uda Ci się obliczyć tej granicy. Spróbuj raczej wyciągnąć \(\displaystyle{ x-3}\), bo to ten czynnik odpowiada za zerowanie się licznika i mianownika, a w konsekwencji - za symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\).

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 4} \left(\frac{x^4 - 256}{x^2 + 11x - 60}\right)}\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \left(\frac{9x^2 - 3x + 13}{3x^2 +2x - 14}\right)}\)

Jak wyżej - spróbuj wyciągnąć \(\displaystyle{ x-4}\) w (c), a w (d) wystarczy podstawić.

[Elepet]

Co do pisaniu symbolu limes, zdaje sobie sprawę, że trzeba go przepisywać, ale chciałem trochę przyspieszyć pracę pisania. Na moim aktualnym zaliczeniu obowiązuje mnie tylko poprawy wynik, dlatego nie pisze lim.

W zadaniu 4 udało mi się zrobić podpunkt c) , wygląda on następująco:
Znalazłem zależność z sinusem

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 4x}{\sin 8x}\right) = \frac{ 4 \cdot \frac{\sin 4x}{4x} }{ 8 \cdot \frac{\sin 8x}{8x} } = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} }\)

Wydaje się okej, tylko jak poradzić sobie z resztą podpunktów ?

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 2x}{3x}\right) = \frac{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3x} }\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^211x}{8x}\right) }\)

\(\displaystyle{ sin^2 }\) oznacza, że będzie zwyczanie w liczniku \(\displaystyle{ 11^2 }\) ? Tylko co wtedy z mianownikiem ?

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tg 3x}{\sin 10x}\right) = \frac{\tg3x}{10 \cdot \frac{\sin 10x}{10x}} }\)


W zadaniu drugim doszedłem to tego:

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 3} \left(\frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + x - 12}\right) = \frac{(x-3)(x...)}{(x-3)(x...)} }\)

W dalszym ciągu mam problem to dokończyć, rozumiem, że \(\displaystyle{ (x-3)}\) musimy pomnożyć przez jakieś wyrażenie, które da nam dokładnie to samo co w liczniku i w mianowniku ? Czy az taka restrykcja nie obowiązuje ?

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 4} \left(\frac{x^4 - 256}{x^2 + 11x - 60}\right) = \frac{(x-4)(...)}{(x-4)(...)} }\)

Ten sam problem co wyżej.

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \left(\frac{9x^2-3x+13}{3x^2+2x-14}\right) = \frac{(9-3+13)}{3+2-14} = -\frac{19}{9} }\)

Dziękuję za podpowiedź tutaj, nie zauważyłem, że można to zrobić w taki prosty sposób.

Zadanie 1
Dobrze, czyli jeżeli delta wyszła ujemna zarówno w liczniku jak i mianowniku to możemy uznać, że dziedziną jest \(\displaystyle{ \RR }\)

a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{8x^2 + x + 1}{5x^2 - 3x + 13} =
\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x^2(8 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(5 - \frac{3}{x} + \frac{13}{x^2})}\right) = \frac{8}{5} }\)

Co muszę dalej zrobić ?

b) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{7x^3}{9x^2 - 13x-9} }\)

Tutaj \(\displaystyle{ \Delta = 493}\), oczywiscie to tyczy się mianownika. Nie za bardzo rozumiem to co Pan napisał.

[Dasio11]

W zadaniu trzecim skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ \sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\).

Co do pisaniu symbolu limes, zdaje sobie sprawę, że trzeba go przepisywać, ale chciałem trochę przyspieszyć pracę pisania. Na moim aktualnym zaliczeniu obowiązuje mnie tylko poprawy wynik, dlatego nie pisze lim.

Rozumiem, ale taki zapis aż kłuje w oczy - to tak jakby mając do obliczenia \(\displaystyle{ 11-3+5+2}\), napisać \(\displaystyle{ 11-3=8+5=13+2=15}\). Jeśli zależy Ci na czasie, to proponowałbym równie szybki, ale poprawny zapis:

\(\displaystyle{ \left(\frac{9x^2 - 45}{81x^2 - 2025}\right) = \frac{9x^2 - 45}{(9x^2 - 45)(9x^2 + 45)} = \frac{1}{9x^2 + 45} \xrightarrow{x \to 5} \frac{1}{270}}\).

c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 4x}{\sin 8x}\right) = \frac{ 4 \cdot \frac{\sin 4x}{4x} }{ 8 \cdot \frac{\sin 8x}{8x} } = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} }\)

Modulo poprzednio uwaga - poprawnie.

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 2x}{3x}\right) = \frac{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3x} }\)

O jeden iks za dużo w mianowniku.

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2 11x}{8x}\right) }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 11x}{8x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 11x}{11x} \cdot \frac{\sin 11x}{11x} \cdot \frac{11 \cdot 11}{8} \cdot x}\)

Ogólnie: jeśli \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\) jest liczbą rzeczywistą, to często \(\displaystyle{ \sin \alpha x}\) można (w granicy przy \(\displaystyle{ x \to 0}\)) zastąpić przez \(\displaystyle{ \alpha x}\) ze względu na możliwość rozpisania \(\displaystyle{ \sin \alpha x = \frac{\sin \alpha x}{\alpha x} \cdot \alpha x}\), wtedy pierwszy czynnik dąży do jedynki.

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tg 3x}{\sin 10x}\right) = \frac{\tg3x}{10 \cdot \frac{\sin 10x}{10x}} }\)

Znów brakuje \(\displaystyle{ x}\). Dalej - skorzystaj z definicji tangensa.

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 3} \left(\frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + x - 12}\right) = \frac{(x-3)(x...)}{(x-3)(x...)} }\)

W dalszym ciągu mam problem to dokończyć, rozumiem, że \(\displaystyle{ (x-3)}\) musimy pomnożyć przez jakieś wyrażenie, które da nam dokładnie to samo co w liczniku i w mianowniku ? Czy az taka restrykcja nie obowiązuje ?

Nie rozumiem pytania. Jeśli chcesz zapisać \(\displaystyle{ x^2+2x-15}\) w postaci \(\displaystyle{ (x-3)}\) razy coś, to owo coś pomnożone przez \(\displaystyle{ x-3}\) musi oczywiście dawać \(\displaystyle{ x^2+2x-15}\). Tak samo jest z mianownikiem.

Zadanie 1
Dobrze, czyli jeżeli delta wyszła ujemna zarówno w liczniku jak i mianowniku to możemy uznać, że dziedziną jest \(\displaystyle{ \RR }\)

Wystarczy, że wychodzi ujemna w mianowniku. Nie ma powodu, żeby miejsca zerowe licznika wyłączać z dziedziny - przecież dzielenie \(\displaystyle{ \frac{0}{a}}\) na ogół jest wykonalne.

a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{8x^2 + x + 1}{5x^2 - 3x + 13} =
\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x^2(8 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(5 - \frac{3}{x} + \frac{13}{x^2})}\right) = \frac{8}{5} }\)

Co muszę dalej zrobić ?

Czym jest asymptota? Jak na wykresie wygląda funkcja, która w nieskończoności ma granicę \(\displaystyle{ \frac{8}{5}}\)? Jeśli odpowiesz na te pytania, to powinieneś od razu zauważyć, jaką asymptotę ma taka funkcja.

b) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{7x^3}{9x^2 - 13x-9} }\)

Tutaj \(\displaystyle{ \Delta = 493}\), oczywiscie to tyczy się mianownika. Nie za bardzo rozumiem to co Pan napisał.

Nie mieliście takich wzorów? Jeśli prosta o równaniu \(\displaystyle{ y=ax+b}\) jest asymptotą w nieskończoności funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\), to współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wyrażają się wzorami

\(\displaystyle{ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \\[4ex]
b = \lim_{x \to \infty} f(x) - ax}\)

Podstaw więc Twoją konkretną funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) i wylicz wspomniane współczynniki.

PS I proszę, nie pisz per "pan".

[Elepet]

Na wstępie zaznaczę, że nie miałem żadnych wzorów. Półtora roku temu miałem analizę z zupełnie innym Profesorem, miesiąc później doszedłem do szkoły i skończyło się warunkiem, nie dałem sobie wtedy rady. Teraz po takiej przerwie, co tydzień dostaje zadania i muszę sobie jakoś z nimi poradzić. Nikt mi nic nie tłumaczył ani nie pokazywał żadnych wzorów. Dlatego mam z tym taki problem, ale jakoś muszę przez to przebrnąć i dziękuję za wszystkie komentarze, które rozjaśniają mi zrozumienie tych tematów .

Dalej mam problem w dokończeniu zadania 3, nie jestem pewien co mam wyciągnąć przed nawias aby otrzymać poprawy wynik.

zad 3

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left(\sqrt{11x^2 + 7x + 9} - \sqrt{11x^2 - 2x + 4}\right) = \lim_{x\to \infty} \left(\frac{11x^2 + 7x + 9 - 11x^2 - 2x + 4}{\sqrt{11x^2 + 7x + 9} + \sqrt{11x^2 - 2x + 4}}\right) =\\
\lim_{x\to \infty} \left(\frac{5x + 13}{\sqrt{11x^2 + 7x + 9} + \sqrt{11x^2 - 2x + 4}}\right) = ... ?}\)

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 2x}{3x}\right) = \frac{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3x} }\)

O jeden iks za dużo w mianowniku.

Uprościłem zapis do takiego momentu, co mogę dalej zrobić aby wyznaczyć granicę ? Dalej jest \(\displaystyle{ x}\) w tym wyrażeniu, nie ma jak go skrócić. Czy może teraz podstawiamy za \(\displaystyle{ x}\) wartość 0 i ostatecznie daje nam to wynik 0 ?

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 2x}{3x}\right) = \lim_{x\to 0} \left(\frac{2 \cdot \frac{\sin2x}{2x}}{3x}\right) = \lim_{x\to 0} \left(3 \cdot \sin2x\right) }\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2 11x}{8x}\right) }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 11x}{8x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 11x}{11x} \cdot \frac{\sin 11x}{11x} \cdot \frac{11 \cdot 11}{8} \cdot x =
\lim_{x \to 0} \frac{(\sin11)(\sin11)}{11 \cdot 11} \cdot \frac{11 \cdot 11}{8} \cdot x = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sin11)(\sin11)}{8} }\)

W ten sposób ?

d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tg 3x}{\sin 10x}\right) = \frac{\tg3x}{10 \cdot \frac{\sin 10x}{10x}} }\)

Co to znaczy, że brakuje \(\displaystyle{ x}\). Brakuje go, żeby skrócić go całkowicie i się go pozbyć ?

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tg 3x}{\sin 10x}\right) = \frac{\tg3x}{10 \cdot \frac{\sin 10x}{10x}} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{10 \cdot \frac{\sin10x}{10x}} = \lim_{x \to 0} \frac{30}{\cos} }\)

Nie wiem czy mogę aż tak skracać, ale zrobiłem to własnie w taki sposób. Co myślisz ?

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 3} \left(\frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + x - 12}\right) = \frac{(x-3)(x...)}{(x-3)(x...)} }\)

W dalszym ciągu mam problem to dokończyć, rozumiem, że \(\displaystyle{ (x-3)}\) musimy pomnożyć przez jakieś wyrażenie, które da nam dokładnie to samo co w liczniku i w mianowniku ? Czy az taka restrykcja nie obowiązuje ?

Nie rozumiem pytania. Jeśli chcesz zapisać \(\displaystyle{ x^2+2x-15}\) w postaci \(\displaystyle{ (x-3)}\) razy coś, to owo coś pomnożone przez \(\displaystyle{ x-3}\) musi oczywiście dawać \(\displaystyle{ x^2+2x-15}\). Tak samo jest z mianownikiem.

Własnie o to mi chodziło. Wcześniej znalezienie odpowiedzi graniczyło z cudem, ale teraz inaczej do tego podszedłem i udało mi się.

b)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3} \left(\frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + x - 12}\right) = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+5)}{(x-3)(x+4)} = \frac{8}{7} }\)

c)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 4} \frac{x^4 - 256}{x^2 + 11x - 60} = \lim_{x\to 4} \frac{(x^2 - 16)(x^2 + 16)}{(x-4)(x+15} = \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(x+4)(x^2 +16)}{(x-4)(x+16} = \frac{8(16 + 16)}{20} = \frac{64}{5} }\)

Dobrze zrobiłem ?

a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{8x^2 + x + 1}{5x^2 - 3x + 13} =
\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x^2(8 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(5 - \frac{3}{x} + \frac{13}{x^2})}\right) = \frac{8}{5} }\)

Co muszę dalej zrobić ?

Czym jest asymptota? Jak na wykresie wygląda funkcja, która w nieskończoności ma granicę \(\displaystyle{ \frac{8}{5}}\)? Jeśli odpowiesz na te pytania, to powinieneś od razu zauważyć, jaką asymptotę ma taka funkcja.

Czyli \(\displaystyle{ \frac{8}{5} }\) to asymptota pozioma b, bo taki wynik wyszedł na plus oraz minus nieskończoności. Zgadza się ?

Natomiast asymptota ukośna a jest równa 0

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^3(\frac{8}{x} + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^3})}{x^3(5 - \frac{3}{x} + \frac{13}{x^2})} = \frac{0}{5} = 0 }\)

W takim wypadku mam napisać, że asymptota ukośna równa się asymptocie poziomej ? Czy jedynie podać wartość asymptoty poziomek a ukośną pominąć ?

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{7x^3}{9x^2 - 13x - 9} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^3(7)}{x^3(\frac{9}{x} - \frac{13}{x^2} - \frac{9}{x^3})} = \frac{7}{0} = \infty }\)

Czyli asymptota pozioma nie istnieje.
Teraz obliczamy asymptotę ukośną.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{7x^3}{9x^3 - 13x^2-9x} = ... = \frac{7}{9} = a }\)


\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} [f(x) - ax] = \lim_{x\to \infty} \frac{7x^3}{9x^3 - 13x^2-9x} - \frac{7}{9}x =
\lim_{x\to \infty} \frac{9(7x^3)}{9(9x^2 - 13x - 9)} - \frac{7(9x^2 - 13x - 9)}{9(9x^2 - 13x - 9)} \cdot x = \lim_{x\to \infty} \frac{63x^3 - 62x^2 + 91 + 63}{81x^2-117 - 81} \cdot x = ... = \frac{63}{0} }\)

Wydaje mi się, że źle policzyłem licznik, widać, że licznik chce sie skrócić, ale z drugiej strony nie jestem pewien. Mógłbyś zerknąć ?

c) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sqrt{5x^2 + 14x + 14}}{7x - 14} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2\sqrt{5 + \frac{14}{x} + \frac{14}{x^2}}}{x^2(\frac{7}{x} - \frac{14}{x^2})} = \frac{\sqrt{5}}{0} = \infty }\)

Asymptota pozioma nie istnieje.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{5x^2 + 14x + 14}}{7x^2 - 14x} = ... = \frac{\sqrt{5}}{7} = a }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} [f(x) - ax] = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{5x^2 + 14x + 14}}{7x - 14} - \frac{\sqrt{5}}{7} \cdot x = ... =
\lim_{x\to \infty} \frac{7\sqrt{5x^2 + 14x + 14}}{49x - 98} - \frac{7\sqrt{5}x - 14\sqrt{5}}{49x - 98} }\)

Doszedłem do takiego zapisu i co dalej mogę zrobić ?

[piasek101]

W zastępstwie, więc powoli i po kolei :
3) z pierwiastkami - w liczniku masz mieć (po zlikwidowaniu pierwiastków) \(\displaystyle{ 11x^2+7x+9-(11x^2-2x+4)}\)

4) z sinusem \(\displaystyle{ 2x}\) - (nadal masz ,,za dużo x-sów w mianowniku") bo \(\displaystyle{ 3x=\frac{3}{2}\cdot 2x}\) i teraz możesz zastosować granicę specjalną o jakiej prawdopodobnie (bo całego wątku nie czytałem) już tu wcześniej było.

[Jan Kraszewski]

No i pamiętaj, że \(\displaystyle{ \sin ax}\) to nie jest "sinus \(\displaystyle{ a}\) razy \(\displaystyle{ x}\)", tylko wartość funkcji sinus dla argumentu \(\displaystyle{ ax}\). W związku z tym wszelkie "skracania" postaci

\(\displaystyle{ \frac{\sin 11x}{11x}=\frac{\sin 11}{11}}\)

są absolutnie niedopuszczalne.

JK

[Elepet]

Dobrze, udało mi się się poradzić z większością zadań, ale dalej nie wiem jak poradzić sobie z zadaniem 5.

Podpunkt b), zrobiłem następująco

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(\frac{7x}{1+7x}\right)^{6x} = ... = \lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{7x})^{-6x}}\)

Musze wyznaczyć wykładnik w z \(\displaystyle{ g = e^w }\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e}\)

Przykład a) również jest problematyczny

a) \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{3}{6x}\right)^{-x} }\)

oraz

b) \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{x+2}{x+6}\right)^{-3x} = \lim_{n\to \infty} (\frac{x}{x+6} + \frac{2}{x+6})^{-3x} }\)

[piasek101]

W całym zadaniu 5 trzeba wykorzystać ,,granicę z e".
b) \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(\frac{7x}{1+7x}\right)^{6x} = ... = \lim_{n\to \infty} \left (1+\frac{-1}{7x+1}\right )^{6x}}\)
teraz popracować nad wykładnikiem (bo nie pasuje), trzeba go rozszerzyć (pomnożyć licznik i mianownik przez takie wyrażenie aby pasował).
Pytaj.
Zaraz tu podpowiedzi do następnych wrzucę.

[edit] a) samo wyrażenie to \(\displaystyle{ \left(\frac{6x+3}{6x}\right)^{-x}=\left(\frac{6x}{6x+3}\right)^{x}=\left(1+\frac{-3}{6x+3}\right)^{x}}\)
i wykładnik jak w b.

c) (bo taką literkę miało w pierwszym poście) \(\displaystyle{ =\left(\frac{x+6}{x+2}\right)^{3x}=\left(1+\frac{4}{x+2}\right)^{3x}}\)

[Elepet]

Niestety dalej nie wiem jak to dokończyć w tym wypadku. Mógłbym prosić może o jeden przykład rozwiązany w całości, żeby chociaż widział jaki ma być efekt końcowy ? Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[JHN]

... jeden przykład rozwiązany w całości, ...

cd w zastępstwie piasek101
b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{-1}{7x+1}\right )^{6x}
= \lim_{x\to \infty} \left[\left (1+\frac{-1}{7x+1}\right )^\frac{7x+1}{-1}\right]^\frac{-6x}{7x+1}=e^{-{6\over7}}}\)

Pozdrawiam

[piasek101]

Albo - korzystając z \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{f(x)}\right )^{f(x)}=e^a}\) (dla odpowiednich \(\displaystyle{ f(x)}\), akurat takich jak w zadaniu), mamy

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{-1}{7x+1}\right )^{6x}
= \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{-1}{7x+1}\right )^{{(7x+1)}\cdot \frac{6x}{7x+1}}=e^{-{6\over7}}}\)

[Elepet]

Dziękuję, teraz udało mi się dokończyć pozostałem podpunkty
Pozdrawiam