Punkty ciągłości funkcji dwóch zmiennych

[Gods_Eater]

Zadanie brzmi:
Wyznacz punkty ciągłości oraz nieciągłości funkcji w zależności od parametru \(\displaystyle{ c}\).
\(\displaystyle{
f(x, y) = \left\{ \begin{array}{ll}
|x| + |y| & \textrm{gdy $x^2 + y^2 \leq 1$}\\
c & \textrm{gdy $x^2 + y^2 > 1$}\\
\end{array} \right.
}\)
Trochę tu nie bardzo wiem za co się zabrać.
Chcę skorzystać z tego, że:
(1) funkcja jest ciągła na \(\displaystyle{ K_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 < 1\}}\), bo na odpowiednich podzbiorach ma postać wielomianu
(2) funkcja jest ciągła na \(\displaystyle{ K_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 > 1\}}\), bo jest stała na tym zbiorze
Teraz powinienem sprawdzić jej ciągłość na okręgu \(\displaystyle{ \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1\}}\), ale szczerze powiedziawszy nie bardzo wiem jak.

[Janusz Tracz]

Sprawdzanie ciągłość na \(\displaystyle{ D=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1\}}\) robi się z definicji. Ustalasz dowolny punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)\in D}\) i sprawdzamy czy:

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) }\)

oczywiście \(\displaystyle{ f(x_0,y_0)=|x_0|+|y_0|}\) a granica jest równa czasem \(\displaystyle{ |x_0|+|y_0|}\) a czasem \(\displaystyle{ c}\) w zależności od tego czy jesteś poza okręgiem czy wewnątrz. Oczywiści warunek \(\displaystyle{ |x_0|+|y_0|=|x_0|+|y_0|}\) jest zawsze spełniony więc całość sprowadza się do tego czy \(\displaystyle{ |x_0|+|y_0|=c}\). Jeśli tak to funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) a z symetrii wynika, że na \(\displaystyle{ (-x_0,y_0),(x_0,-y_0), (-x_0,-y_0), (y_0,x_0), (-y_0,x_0), (y_0,-x_0), (-y_0,-x_0)}\) też. Można też podstawić \(\displaystyle{ x=\cos \phi }\) oraz \(\displaystyle{ y=\sin \phi}\) wszak dla dowolnego \(\displaystyle{ \phi\in\left[ 0,2\pi\right) }\) punkty te pokrywają \(\displaystyle{ D}\). Więc można zbiór punktów ciągłości opisać jako \(\displaystyle{ x,y}\) z \(\displaystyle{ D}\) takie, że \(\displaystyle{ \left| \cos \phi\right| + \left| \sin \phi \right| =c }\). Jak już wcześniej wspomniałem funkcja jest symetryczna więc bez straty ogólności przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \phi\in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] }\) a całą resztę ewentualnych punktów ciągłości wygenerujesz sobie symetriami. Wtedy zapisać można \(\displaystyle{ \cos \phi+\sin \phi =c}\). Co upraszcza się do \(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin \left( x+ \frac{\pi}{4} \right)=c }\) a to daje:

\(\displaystyle{ \phi=\arcsin\left( \frac{c}{ \sqrt{2} } \right)- \frac{ \pi }{4} }\)

oraz

\(\displaystyle{ \phi= \pi -\arcsin\left( \frac{c}{ \sqrt{2} } \right)- \frac{ \pi }{4} }\)

dla \(\displaystyle{ c\in \left[ 1, \sqrt{2} \right] }\) (ten przedział wynika ze zbioru wartości \(\displaystyle{ \left| \cos \phi\right| + \left| \sin \phi \right| }\) na \(\displaystyle{ \phi\in \left[ 0, \frac{ \pi }{2} \right] }\)). Są to kąty dla których punkt \(\displaystyle{ \left( \cos \phi, \sin \phi\right) }\) leży na \(\displaystyle{ D}\) oraz w pierwszej ćwiartce oraz \(\displaystyle{ f}\) jest tam ciągła.

[Gods_Eater]

Okej, fajnie, dziękuję za obszerne rozpisanie
Przeanalizuję to sobie na spokojnie i postaram przetrawić. Coś właśnie największe trudności sprawia mi ciągłość