Granica (zbiór zad. Krysicki, Włodarski przykład 12.22) Podejście nr 2

[krokodyl7wody]

Cześć. Mam problem z następującym przykładem:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to + \infty } m( \sqrt[m]{x} - 1 ) }\)

Wydaje mi się że jest błąd w zapisie przykładu ponieważ obecnie granica zależy od \(\displaystyle{ "m"}\) , natomiast odpowiedź w książce wynosi \(\displaystyle{ "\ln x"}\) .

Myślę, że to jest poprawny zapis:
\(\displaystyle{ \lim_{ m \to + \infty } m( \sqrt[m]{x} - 1 ) }\)

Należy wykorzystać regułę de L'Hospitala .

Próbuje w ten sposób robić, ale wynik mi nie wychodzi :/
\(\displaystyle{ \lim_{ m \to + \infty } m( \sqrt[m]{x} - 1 ) }\) = \(\displaystyle{ \lim_{ m \to + \infty } \frac{( \sqrt[m]{x} - 1 )}{ \frac{1}{m} } }\) = \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0} \right]}\) = ...... jakieś moje nędze próby policzenie tego....

Proszę uprzejmie o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu

[Tmkk]

Tak, dla \(\displaystyle{ x \to \infty}\), rozwiązanie jest bardzo proste.

To może pokaż jak robisz, bo zadanie sprowadza się dosłownie do policzenia pochodnych i skrócenia. Możesz też sobie podstawić \(\displaystyle{ y = \frac{1}{m}}\), aczkolwiek jest to tylko drobne ułatwienie, zupełnie niekonieczne.

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ x^{\frac{1}{m}}=e^{\frac{1}{m}\ln x}}\) i wzór na pochodną funkcji złożonej.

[krokodyl7wody]

Ehh, nie umiem tego zrobić. ;/ . Panowie poratujcie i rozpiszcie mi to

[Tmkk]

Pokaż jak liczysz, to wskażę Ci błąd.

[krokodyl7wody]

\(\displaystyle{ \lim_{m \to + \infty } m (\sqrt[m]{x} -1) = \lim_{m \to + \infty } \frac{ \sqrt[m]{x}-1 }{ \frac{1}{m} } = \lim_{m \to + \infty } \frac{ x^{ \frac{1}{m} } -1}{ \frac{1}{m} } = \left[ \frac{0}{0} \right] = de L'Hospital = }\) i nie wiem czy "m" to zmienna czy może stała (chyba raczej zmienna), zatem "x" to stała ? czy może tutaj są 2 zmienne ?

[Tmkk]

\(\displaystyle{ x}\) możesz traktować, jakby było ustalone.

[krokodyl7wody]

czyli do \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{m} } }\) mogę zastosować wzór:
\(\displaystyle{ a^{x} = a^{x} \ln a }\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) - stała ,\(\displaystyle{ x}\) - zmienna

więc:

\(\displaystyle{ = \frac{ x^{ \frac{1}{m} } \ln x}{ \frac{-1}{ m^{2} } } = - ( x^{ \frac{1}{m} }\ln x m^{2} )}\) = ???

Tmkk, proszę Pana, niech mnie Pan już nie męczy, proszę o rozpisanie tego

[Tmkk]

Ja Cię nie męczę, po prostu nie widzę sensu w pisaniu w takich zadaniach gotowych rozwiązań.

Ok, czyli problem jest z liczeniem pochodnych. To może weźmy prostszy przykład, ile wynosi \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}e^{x^2}}\)?

[krokodyl7wody]

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx} e^{ x ^{2} } = e^{ x ^{2} } 2x }\)

[Tmkk]

No własnie, bo to jest pochodna funkcji złożonej.

Podobną rzecz masz tutaj. Prawdą jest, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dx} a^x = a^x\ln{a}}\), ale nieprawdą, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dx} a^\frac{1}{x} = a^\frac{1}{x}\ln{a}}\)

[krokodyl7wody]

dobra.... czyli to jest tak:

\(\displaystyle{ .... = \lim_{m \to + \infty } \frac{ a^{ \frac{1}{m}} \cdot lnx \cdot \frac{-1}{ m^{2} } }{ \frac{-1}{ m^{2} } } = \lim_{m \to + \infty } a^{ \frac{1}{m}} \cdot lnx = a^{ 0} \cdot lnx = 1 \cdot lnx = lnx }\)

najbardziej mnie zmyliło, że potraktowałem\(\displaystyle{ "x"}\) jako zmienną i tak też liczyłem pochodne dla wyrażeń z \(\displaystyle{ "x"}\)
no i fakt że źle policzyłem pochodną funkcji złożonej.

Dzięki za pomoc