Czy funkcja \(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow\RR}\) dana jako:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\max\left( \left| x\right| ,\left| y\right| \right) }\)
jest ciągła (w naturalnym sensie) Chyba tak, jak dobrze kojarzę, ale potrzebuję się upewnić, i z tego skorzystać( w zadaniu ze studiów).
Dodano po 24 minutach 45 sekundach:
Przepraszam, bardziej chodzi o funkcję:
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=\max\left( \left| 2x+y\right|,\left| x+y\right| \right) }\), ale może to nic nie zmienia.
Ciągłość funkcji maksimum- szybkie pytanie
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Ciągłość funkcji maksimum- szybkie pytanie
Ostatnio zmieniony 14 maja 2020, o 01:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Ciągłość funkcji maksimum- szybkie pytanie
Twierdzenie: jeśli przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) pokryta jest skończoną ilością zbiorów domkniętych \(\displaystyle{ F_i}\), a funkcja \(\displaystyle{ f : X \to Y}\) jest ciągła po obcięciu do każdego \(\displaystyle{ F_i}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.
Korzystając z tego twierdzenia wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \max \{ |x|, |y| \} = \begin{cases} |x| & \text{gdy } |x| \ge |y| \\ |y| & \text{gdy } |y| \ge |x| \end{cases}}\)
i zarówno \(\displaystyle{ |x|}\) jak i \(\displaystyle{ |y|}\) są ciągłe, więc powyższa funkcja też.
Korzystając z tego twierdzenia wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \max \{ |x|, |y| \} = \begin{cases} |x| & \text{gdy } |x| \ge |y| \\ |y| & \text{gdy } |y| \ge |x| \end{cases}}\)
i zarówno \(\displaystyle{ |x|}\) jak i \(\displaystyle{ |y|}\) są ciągłe, więc powyższa funkcja też.