Granica funkcji

[murka1997]

Korzystając z granicy funkcji, oblicz:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } \frac{\ln (\arcsin(5x))}{\ln (\arcsin(x))}}\)
Doszedłem do przekształcenia:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }\frac{\arcsin(x)}{\arcsin(5x)} \cdot \frac{5 \sqrt{1-x ^{2} } }{ \sqrt{1-25 x^{2} } } }\)
Czy mogę teraz zastosować dalej regułę de l'Hospitala tylko na pierwszy czynnik czyli \(\displaystyle{ \frac{\arcsin(x)}{ \arcsin(5x)}}\) (bo jest \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right]}\) ) wiedząc, że drugi czynnik przy podstawieniu 0 wynosi 5?

[Jan Kraszewski]

Doszedłem do przekształcenia:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }\frac{\arcsin(x)}{\arcsin(5x)} \cdot \frac{5 \sqrt{1-x ^{2} } }{ \sqrt{\red{1-25 ^{2}} } } }\)

Ja bym to poprawił, bo ta ujemna liczba pod pierwiastkiem wygląda średnio...

JK

[murka1997]

Już poprawiłem, pomyłka przy przepisywaniu, zapomniałem x.

[Premislav]

Tak, możesz tak uczynić, choć tutaj już de l'Hospital to lekka przesada, wystarczy pomnożyć i podzielić przez \(\displaystyle{ x}\) i skorzystać z
\(\displaystyle{ \lim_{u\to 0}\frac{\arcsin (u)}{u}=1}\).