Parametr w obliczaniu granicy

[murka1997]

Mam wątpliwości co do wyniku parametru w obliczaniu granicy.
Granica funkcji \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2 ^{+} } \frac{2x-x ^{2} }{k(x-2)} = \frac{\pi}{2} }\)

Czy chcąc obliczyć parametr \(\displaystyle{ k}\), liczę w sposób "normalny" po prostu \(\displaystyle{ \frac{2x-x ^{2} }{k(x-2)} = \frac{\pi}{2} }\), gdzie wychodzi mi \(\displaystyle{ k= \frac{-2x}{\pi} }\) czy podstawić przy obliczaniu granicy \(\displaystyle{ 2 ^{+} }\) i wówczas \(\displaystyle{ k}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{-4}{\pi} }\)?

[niunix98]

Skróć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x-2}\). Wtedy wychodzi \(\displaystyle{ k=- \frac{4}{\pi}}\).

[murka1997]

Skróć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x-2}\). Wtedy wychodzi \(\displaystyle{ k=- \frac{4}{\pi}}\).

Tak, tylko że \(\displaystyle{ k=- \frac{4}{\pi}}\) wychodzi po wstawieniu za \(\displaystyle{ x }\) \(\displaystyle{ 2 ^{+} }\), a moje pytanie brzmi czy poprawny wynik jest ze wstawianiem \(\displaystyle{ 2 ^{+} }\) czyli \(\displaystyle{ k=- \frac{4}{\pi}}\) czy bez wstawiania czyli \(\displaystyle{ k=\frac{-2x}{\pi} }\).

[niunix98]

Poprawny wynik jest "z wstawianiem", ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2^{+}} \frac{2x-x^2}{k(x-2)} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x(2-x)}{k(x-2)} = \lim_{x \to 2^{+}} - \frac{x}{k} }\), a to jest już wyrażenie oznaczone, czyli granica ta wynosi \(\displaystyle{ -\frac{2}{k}}\). Przyrównujemy to teraz do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ k=-\frac{4}{\pi}}\).

[a4karo]

Należy użyć tej drugiej metody. Dlaczego? Bo w pierwszej otrzymujesz `k` zależne od \(\displaystyle{ x}\), a przecież `k` jest STAŁĄ.