Obliczenie granicy funkcji w 0

[murka1997]

Mam problem z obliczeniem granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } x \sin \frac{ \pi }{x} }\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{-} } x \sin \frac{ \pi }{x} }\)

Według mnie powinno wyjść \(\displaystyle{ 0}\), ale jednak granica funkcji \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{x} }\) nie istnieje. Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jaki powinien być poprawny wynik? Długo już nad tym się głowię, ale nie przychodzi mi do głowy żadna logiczna konkluzja.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left| x \sin \frac{\pi}{x} \right| \le |x|}\) więc skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} |x| = 0}\), to również \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{\pi}{x} = 0}\).

[Jan Kraszewski]

Czyli twierdzenie o trzech funkcjach.

JK

[murka1997]

Czyli twierdzenie o trzech funkcjach.

JK

Czy twierdzenie o trzech funkcjach jest równoznaczne z twierdzeniem o trzech ciągach? Są to te same zasady działania czy mówimy o dwóch różnych twierdzeniach?

[Dasio11]

Są analogiczne, ale jedno odnosi się do granicy ciągu, a drugie do granicy funkcji (w punkcie lub w nieskończoności).