Ciągła i ma nieskończoną granicę, to jedn. ciągła?

[Zaratustra]

Uszanowanie, znowu ja, znowu męczę jakieś proste dowodowe zadanie z elementarnej analizy.

Namęczyłem się trochę i chciałbym się upewnić, że to jest dobrze.

Teza: Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f\colon [0,+\infty)\to\mathbb{R}}\) jest ciągła i ma skończoną granicę \(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to \infty }f(x)}\), to jest jednostajnie ciągła.
Mój dowód: Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=g\in\mathbb{R}}\). Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje \(\displaystyle{ A>0}\) takie, że \(\displaystyle{ x\geq A\Rightarrow |f(x)-g|<\frac{\varepsilon}{2},\; x\in [0,+\infty).}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ A}\), więc istnieje \(\displaystyle{ \lambda>0}\) takie, że
\(\displaystyle{ |x-A|<\lambda\Rightarrow |f(x)-f(A)|<\frac{\varepsilon}{2},\; x\in[0,+\infty)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x,y\in[0,A]}\), to \(\displaystyle{ f\big|_{[0,A]}}\) jest jednostajnie ciągła. Sprawdźmy co się dzieje gdy \(\displaystyle{ x<A\leq y}\) oraz gdy \(\displaystyle{ A\leq x,y}\).

1. Załóżmy, że np. \(\displaystyle{ x<A}\) i \(\displaystyle{ y\geq A}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ |x-y|>\lambda}\) zachodzą oszacowania:
\(\displaystyle{ |x-A|<|x-y|<\lambda \; (1) }\)
oraz
\(\displaystyle{ |y-A|<|x-y|<\lambda \; (2) }\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ \delta=\lambda}\) i wtedy dla \(\displaystyle{ |x-y|<\delta}\) mamy, że
\(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(A)|+|f(A)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. }\)

2. Dla \(\displaystyle{ x,y\geq A}\) mamy
\(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq|f(x)-g|+|f(y)-g|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}}\)
Zatem w tym przypadku możemy przyjąć dowolne \(\displaystyle{ \delta}\)!

Weźmy więc \(\displaystyle{ \delta=\lambda}\) i wtedy \(\displaystyle{ \forall_{x,y\in[0,+\infty)}\left(|x-y|<\lambda\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\right)}\). Z dowolności wyboru \(\displaystyle{ \varepsilon}\) mam, że

\(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x,y\in[0,+\infty).}\;|x-y|<\lambda\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon}\)

co było do okazania.


Gdzie się wątpliwiłem: \(\displaystyle{ \delta}\) nie może być oczywiście funkcją „argumentów fukncji” (w tekście wys. jako \(\displaystyle{ x,y}\)). Natomiast ja to zrobiłem tak, że zależy od \(\displaystyle{ A}\), które zależy od \(\displaystyle{ \varepsilon}\), czyli \(\displaystyle{ \delta}\) jest funkcją \(\displaystyle{ \varepsilon}\)-a. Chociaż tak śmiesznie, dla przypadku 2. po prostu wybór liczby-delty nie grał roli, tylko tak go przyjmuję dla spełnienia definicji i objęcia tego przypadku.
Ale jak coś nie poszacowawałem źle po drodze to chyba wszystko gra?

[Kartezjusz]

Linijka nr 8 pomylił ci się znak nierówności .

[Dasio11]

Linijka nr 8 pomylił ci się znak nierówności .

A wiesz, że numery linijek zależą od rozmiaru Twojego ekranu? ;>

Do autora tematu: nie rozważyłeś w ogóle przypadku \(\displaystyle{ x, y < A}\). Poza tym rzeczywiście nieelegancko jest pisać, że w jednym przypadku można przyjąć takie \(\displaystyle{ \delta}\), a w drugim jakieś inne. Powinieneś wskazać jedną liczbę \(\displaystyle{ \delta}\) i następnie pokazać, że w każdym możliwym przypadku liczba ta spełnia zapisaną w definicji jednostajnej ciągłości własność.

[Zaratustra]

Linijka nr 8 pomylił ci się znak nierówności .

Faktycznie literówka, dzięki

Natomiast Dasio11: Rozumiem, co masz na myśli, że nieelegancko to zapisałem Powinienem był bardziej zredagować przed wrzuceniem, żeby to „dowodem” nazwać, ale się za bardzo ucieszyłem że mi wyszło

To spróbuję:
Teza: Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f\colon [0,+\infty)\to\mathbb{R}}\) jest ciągła i ma skończoną granicę \(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to \infty }f(x)}\), to jest jednostajnie ciągła.
Dowód: Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=g\in\mathbb{R}}\). Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).
Istnieje \(\displaystyle{ A>0}\) takie, że
\(\displaystyle{ x\geq A\Rightarrow |f(x)-g|<\frac{\varepsilon}{2},\; x\in[0,+\infty)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ [0,+\infty)}\). więc istnieje \(\displaystyle{ \lambda_1>0}\) takie, że
\(\displaystyle{ \forall_{x\in[0,+\infty).}\;|x-A|<\lambda_1\Rightarrow |f(x)-f(A)|<\frac{\varepsilon}{2}.}\)
Dla \(\displaystyle{ x,y\in[0,A]}\) funkcja \(\displaystyle{ f_{[0,A]}}\) jest jednostajnie ciągła, jako f. ciągła określona na zbiorze zwartym. Zatem istnieje takie \(\displaystyle{ \lambda_2>0}\), że
\(\displaystyle{ \forall_{0\leq x,y\leq A.}\;|x-y|<\lambda_2\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}}\).
Przyjmijmy \(\displaystyle{ \delta=\min\{\lambda_1,\lambda_2\}}\). Wtedy jeżeli \(\displaystyle{ |x-y|<\delta}\), to:
1. dla \(\displaystyle{ x,y\leq A}\): \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon}\) (gdyż \(\displaystyle{ x,y\in[0,A]}\) i \(\displaystyle{ |x-y|<\delta\leq\lambda_2}\)).
2. dla \(\displaystyle{ x,y\geq A}\): \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq|f(x)-g|+|g-f(y)|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon}\).
3. dla \(\displaystyle{ x<A}\) i \(\displaystyle{ y\geq A}\): mamy następujące oszacowania:
\(\displaystyle{ |x-A|<|x-y|}\) oraz \(\displaystyle{ |y-A|<|x-y|}\) stąd \(\displaystyle{ |x-A|<\delta\leq\lambda_1}\) i podobnie \(\displaystyle{ |y-A|<\lambda_1}\). Z określenia \(\displaystyle{ \lambda_1}\) oraz z nierówności trójkąta szacujemy: \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(A)|+|f(A)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.}\)
Pokazaliśmy, że
\(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x,y\in[0,+\infty).}|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon}\),
czyli \(\displaystyle{ f}\) jest jednostajnie ciągła.

W porządku wszystko?

[Dasio11]

Z dokładnością do drobnostek, wszystko ślicznie.