Funkcja ciągła i 1-1 na podzbiorze otwartym

[terefere123]

Jeśli funckja ciągła \(\displaystyle{ f : A \rightarrow \mathbb{R}}\) określone na podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\) jest 1-1, to \(\displaystyle{ f(A)}\) jest podzbiorem otwartym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i odwzorowanie odwrotne \(\displaystyle{ f^{−1} : f (A) \rightarrow A}\) jest ciągłe.

Prosiłbym o sprawdzenie mojego dowodu i ewentualne wskazówki:

Mamy pokazać ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest otwarty. Załóżmy bez stracenia ogólności ze funkcja jest rosnąca (1-1 i ciągła). Załóżmy nie wprost ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest domknięte. Czyli \(\displaystyle{ f(A) = [a, b]}\). Istnieje jedno \(\displaystyle{ x}\) takie, ze \(\displaystyle{ f(x) = b}\). Czyli \(\displaystyle{ (\forall p \in A) f(p) \le f(x)}\). Ale \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty wiec dla wystarczająco małego \(\displaystyle{ k}\), istnieje \(\displaystyle{ x + k \in A}\).
\(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca wiec \(\displaystyle{ f(x+k) > f(x) = b}\) sprzeczność.

Do drugiego elementu dowodu mam większe wątpliwości:

Wiemy ze funkcja jest ciągła czyli: \(\displaystyle{ (\forall x_0 \in A)(\forall x_n \subset A)\left[ \lim_{n \rightarrow \infty }x_n = x_0 \rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty }f(x_n) = f(x_0)\right] }\). Dla dow. \(\displaystyle{ y \in f(A)}\) mamy dokładnie 1 \(\displaystyle{ x}\) taki ze \(\displaystyle{ f(x) = y}\).
Mamy ciąg \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\), czyli mamy ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\). Czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(f(c_n)) = \lim_{n \rightarrow \infty }c_n = x = f^{-1}(f(x))}\) Czyli funkcja odwrotna jest ciągła.(?)

Proszę o sprawdzenie, dziękuję.

[a4karo]

Założyłeś, że funkcja jest ściśle monotoniczna. Ale to trzeba uzasadnić

Dodano po 2 minutach 30 sekundach:
Popatrz jak się zachowuje funkcja na prawo i lewo od maksimum i skorzystaj z własności Darboux

[terefere123]

Czy po uzasadnieniu tego założenia dowód jet poprawny?

[a4karo]

NIe Nie możesz zakładać, że `x_n\to c`, bo wychodzisz od tego, co masz udowodnić. Musisz wybrać dowolny punkt `y` w obrazie funkcji, dowolny ciąg `y_n` zbieżny do niego i pokazać, że `f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y)`

[Dasio11]

Tu też są błędy:

Mamy pokazać ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest otwarty. [...] Załóżmy nie wprost ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest domknięte. Czyli \(\displaystyle{ f(A) = [a, b]}\).

Założenie nie wprost to negacja tezy, że \(\displaystyle{ f(A)}\) jest otwarty. Ani nie wynika stąd, że ten zbiór jest domknięty, ani też z domkniętości nie wynika, że jest on przedziałem domkniętym.

Ponadto ciekaw jestem, w jaki sposób uzasadniasz, że bez straty ogólności \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, bo przypuszczam że każdy poprawny dowód takiej redukcji jest trudniejszy niż samo zadanie.

[terefere123]

Faktycznie, muszę od nowa to zrobić.
Odnośnie tej funkcji rosnącej to nie jest prawdą, ze ciągła i 1-1 musi być ściśle monotoniczna? (pomijając brak dowodu)

[a4karo]

Jeżeli jest określona na odcinku, to prawda

[Dasio11]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\) jest określona na otwartym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR}\), różnowartościowa i ciągła, ale nie jest ściśle monotoniczna.

[terefere123]

Myślałem ciągle o przedziale, ale faktycznie ten fakt w tym przypadku jest bezużyteczny. Ale nadal nie wiem jak się obejść bez wiedzy czy funkcja jest rosnąca czy malejąca. Skąd mam wiedzieć czy wybierając jakiś \(\displaystyle{ y \in f(A)}\) nie wybiorę jakiegoś maksimum co nie będzie miało żadnej kuli...

[a4karo]

Znasz własnośc Darboux?

Dodano po 25 sekundach:
Co to znaczy "nie będzie miało żadnej kuli?

[Dasio11]

Wystarczy Ci wiedza, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle monotoniczna na każdym przedziale \(\displaystyle{ I \subseteq A}\).

Weź dowolny punkt \(\displaystyle{ y \in f(A)}\) i niech \(\displaystyle{ y = f(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in A}\). Skoro \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, to istnieje przedział \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\), taki że \(\displaystyle{ [a, b] \subseteq A}\). Na tym przedziale funkcja jest monotoniczna, więc pozostaje Ci pokazanie, że \(\displaystyle{ (f(a), f(b))}\) lub \(\displaystyle{ (f(b), f(a))}\) jest przedziałem otwartym zawierającym \(\displaystyle{ y}\) i zawartym w \(\displaystyle{ f(A)}\).

[terefere123]

Dziękuję Dasio razem z Darboux już dalej sobie poradziłem.

Co to znaczy "nie będzie miało żadnej kuli?

W definicji zbioru otwartego jest taka terminologia, może zbyt skrótowo zapisałem moja myśl.

Spróbuję teraz 2 cześć dowodu z funkcja odwrotna zrobić od nowa razem z Waszymi wskazówkami.

Dodano po 59 minutach 33 sekundach:
Dow. \(\displaystyle{ y \in f(A)}\), dow. ciąg \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y}\).
Rozumiem, ze chce pokazac, ze \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(y_n) = f^{-1}(y)}\), gdzie \(\displaystyle{ y = f(x)}\)
istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ c_n}\), ze \(\displaystyle{ y_n = f(c_n)}\), czyli
\(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\)

Jestem w takim momencie, ze przydałby mi sie taki fakt mówiący, ze jeśli funkcja jest 1-1 i jest ciągła to jeśli
ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\) to \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\).

Nie wiem czy ide w dobra strone i czy ten fakt jest wymagany.

Nie rozumiem tez do końca dlaczego mój ten pierwszy jest nie poprawny.

[Dasio11]

Mamy ciąg \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\), czyli mamy ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\).

Mamy ciąg \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\), czyli mamy ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\). Czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(f(c_n)) = \lim_{n \rightarrow \infty } c_n = x = f^{-1}(f(x))}\) Czyli funkcja odwrotna jest ciągła.

Dlatego że dowód powinien być czytelnym rozumowaniem, które prowadzi od założeń do tezy. W tym wypadku założenie jest takie, że \(\displaystyle{ y_n}\) jest dowolnym ciągiem elementów \(\displaystyle{ f(A)}\) zbieżnym do \(\displaystyle{ y \in f(A)}\), a tezą jest \(\displaystyle{ f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y)}\). Ty zaś piszesz o jakimś - nie wiadomo skąd wziętym - ciągu \(\displaystyle{ c_n}\), który - nie wiadomo dlaczego - jest zbieżny do \(\displaystyle{ x}\).

Natomiast dowód z Twojego ostatniego podejścia:

Dow. \(\displaystyle{ y \in f(A)}\), dow. ciąg \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y}\).
Rozumiem, ze chce pokazac, ze \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(y_n) = f^{-1}(y)}\), gdzie \(\displaystyle{ y = f(x)}\)

ma już prawidłową strukturę, poza tym że zapomniałeś dopisać \(\displaystyle{ y_n \in f(A)}\).

Jestem w takim momencie, ze przydałby mi sie taki fakt mówiący, ze jeśli funkcja jest 1-1 i jest ciągła to jeśli
ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\) to \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\).

To nie jest prawda bez założenia otwartości dziedziny - kontrprzykładem jest funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in (0, 1] \\ x-1 & \text{dla } x \in (2, 3) \end{cases}}\)

dla której ciąg \(\displaystyle{ c_n = 2+\frac{1}{n}}\) i liczba \(\displaystyle{ x = 2}\) spełniają założenie, ale nie tezę.

Zamiast tego sugeruję zacząć tak jak przedtem: ustalić otoczenie iksa \(\displaystyle{ (a, b)}\) takie że \(\displaystyle{ [a, b] \subseteq A}\), i zauważyć że \(\displaystyle{ (f(a), f(b)) \subseteq f(A)}\) jest otoczeniem igreka (przy założeniu bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ f}\) jest lokalnie rosnąca). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją między tymi przedziałami, co powinno ułatwić Ci dalsze dowodzenie.

[terefere123]

Niestety nie wiem jak wykorzystać, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Ale przypomniało mi się tw. o funkcji odwrotnej:
Jeśli \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła i 1-1 to f. odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}: f(A) \rightarrow A}\) jest ciągła.
Tylko nie wiem czy to nie jest jakaś inna wersja tego co ja mam udowodnić i użycie tego nie miałoby żadnego sensu...

[Dasio11]

Ale przypomniało mi się tw. o funkcji odwrotnej:
Jeśli \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła i 1-1 to f. odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}: f(A) \rightarrow A}\) jest ciągła.

Przecież już wcześniej chciałeś korzystać z tego stwierdzenia a ja podałem Ci kontrprzykład:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in (0, 1] \\ x-1 & \text{dla } x \in (2, 3) \end{cases}}\)

Gdyby zaś dołożyć założenie o otwartości zbioru \(\displaystyle{ A}\), to wyszłoby kropka w kropkę twierdzenie, które masz udowodnić, więc jak sam zauważyłeś, korzystanie z niego byłoby kiepskim pomysłem.


Oznaczając \(\displaystyle{ x_n = f^{-1}(y_n), x = f^{-1}(y)}\), chcemy udowodnić że \(\displaystyle{ x_n \to x}\). Mamy \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\) i \(\displaystyle{ f : (a, b) \to \big( f(a), f(b) \big)}\) jest rosnącą bijekcją.

Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i niech będzie on tak mały, że \(\displaystyle{ (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subseteq (a, b)}\). Wtedy \(\displaystyle{ x - \varepsilon < x < x + \varepsilon}\), więc z monotoniczności \(\displaystyle{ f(x-\varepsilon) < y < f(x+\varepsilon)}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ \big( f(x-\varepsilon), f(x+\varepsilon) \big)}\) jest otwartym przedziałem zawierającym \(\displaystyle{ y}\), więc wpadają weń prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ y_n}\). Zapisując to inaczej, dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n}\) zachodzą nierówności

\(\displaystyle{ f(x-\varepsilon) < f(x_n) < f(x+\varepsilon).}\)

Korzystamy teraz z faktu, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją między podanymi przedziałami, by stwierdzić że prawie wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ x_n}\) muszą leżeć w przedziale \(\displaystyle{ (a, b)}\). A skoro tak, to z monotoniczności oraz z powyższych nierówności mamy

\(\displaystyle{ x - \varepsilon < x_n < x + \varepsilon}\)

dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\), co należało wykazać.