Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
Tkwię nad tekstem, bo nie mogę przeskoczyć jednej z „oczywistości”. W rozumowaniu jest taki moment:
Zbiór postaci:
\(\displaystyle{ A_{n,m,l}=\left\{x\in\mathbb{R}\colon |f_n(x)-f_m(x)|\leq\frac{1}{l}\right\}}\)
jest domknięty, na mocy założenia, że funkcje \(\displaystyle{ f_n, n\in\mathbb{N}}\) są ciągłe.
Jak ja nienawidzę, kiedy jakaś oczywistość jest nie rozpisana a ja sam nie umiem ;_;
Ustaliłem zbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq A_{n,m,l}}\) i napisałem tak:
\(\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|=|f_n(\lim_{k\to\infty}x_k)-f_m(\lim_{k\to\infty}x_k)|=|\lim_{k\to\infty}(f_n(x_k)-f_m(x_k))|}\)
Stąd, że \(\displaystyle{ |f_n(x_k)-f_m(x_k)|\leq\frac{1}{l}, \; k\in\mathbb{N}}\) z założenia, \(\displaystyle{ (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq A_{n,m,l}}\). Wniosek: przechodząc do nierówności w granicy mam, że \(\displaystyle{ \left|\lim_{k\to\infty}f_n(x_k)-\lim_{k\to\infty}f_m(x_k)\right|=|f_n(x)-f_m(x)|\leq\frac{1}{l}}\) - ok?
Wtedy \(\displaystyle{ x\in A_{n,m,l}}\).
To jest pewnie przekomplikowanie i widać to jakoś łatwiej? Bo szczerze chwilę się użerałem, próbując to „poczuć”/„zobaczyć” i w końcu się uciekłem do tej ciągowej def. domkniętości zbioru
Czy dla większości z was, gdybyście robili zadanie, NIE polegające na tym, by pokazać, że omawiany zbiór jest domknięty, ale w rozwiązaniu którego pomaga w pewnym momencie zauważenie, że zb. \(\displaystyle{ A_{n,m,l}}\) jest domknięty, byłoby to oczywiste? Tzn. patrzycie na taki zbiór i „no tak, on jest domknięty”.
Zbiór postaci:
\(\displaystyle{ A_{n,m,l}=\left\{x\in\mathbb{R}\colon |f_n(x)-f_m(x)|\leq\frac{1}{l}\right\}}\)
jest domknięty, na mocy założenia, że funkcje \(\displaystyle{ f_n, n\in\mathbb{N}}\) są ciągłe.
Jak ja nienawidzę, kiedy jakaś oczywistość jest nie rozpisana a ja sam nie umiem ;_;
Ustaliłem zbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq A_{n,m,l}}\) i napisałem tak:
\(\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|=|f_n(\lim_{k\to\infty}x_k)-f_m(\lim_{k\to\infty}x_k)|=|\lim_{k\to\infty}(f_n(x_k)-f_m(x_k))|}\)
Stąd, że \(\displaystyle{ |f_n(x_k)-f_m(x_k)|\leq\frac{1}{l}, \; k\in\mathbb{N}}\) z założenia, \(\displaystyle{ (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq A_{n,m,l}}\). Wniosek: przechodząc do nierówności w granicy mam, że \(\displaystyle{ \left|\lim_{k\to\infty}f_n(x_k)-\lim_{k\to\infty}f_m(x_k)\right|=|f_n(x)-f_m(x)|\leq\frac{1}{l}}\) - ok?
Wtedy \(\displaystyle{ x\in A_{n,m,l}}\).
To jest pewnie przekomplikowanie i widać to jakoś łatwiej? Bo szczerze chwilę się użerałem, próbując to „poczuć”/„zobaczyć” i w końcu się uciekłem do tej ciągowej def. domkniętości zbioru
Czy dla większości z was, gdybyście robili zadanie, NIE polegające na tym, by pokazać, że omawiany zbiór jest domknięty, ale w rozwiązaniu którego pomaga w pewnym momencie zauważenie, że zb. \(\displaystyle{ A_{n,m,l}}\) jest domknięty, byłoby to oczywiste? Tzn. patrzycie na taki zbiór i „no tak, on jest domknięty”.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
Tak, na pewnym poziomie to jest oczywiste.Zaratustra pisze: ↑6 kwie 2020, o 12:01Czy dla większości z was, gdybyście robili zadanie, NIE polegające na tym, by pokazać, że omawiany zbiór jest domknięty, ale w rozwiązaniu którego pomaga w pewnym momencie zauważenie, że zb. \(\displaystyle{ A_{n,m,l}}\) jest domknięty, byłoby to oczywiste? Tzn. patrzycie na taki zbiór i „no tak, on jest domknięty”.
Wynika to z podstawowego faktu, że przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą jest domknięty. Zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR : |f_n(x) - f_m(x)| \le \frac{1}{l} \right\}}\)
jest przeciwobrazem zbioru domkniętego \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1}{l} \right]}\) przez funkcję ciągłą \(\displaystyle{ |f_n(x) - f_m(x)|}\), więc automatycznie jest domknięty.
Podobne przykłady, gdzie od razu widać domkniętość:
\(\displaystyle{ \{ (x, y, z) \in \RR^3 : 1 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 5 \} \\[1ex]
\left\{ x \in \RR : \sin \big( x - \ln(1+x^2) \big) \ge \frac{1}{2} \right\} \\[1ex]
\{ (x, y) \in \RR^2 : y \ge e^x \} = \{ (x, y) \in \RR^2 : y - e^x \ge 0 \}}\)
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
A dlaczego przeciwobrazem \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1}{l} \right]}\) a nie \(\displaystyle{ \left[-\frac{1}{l},\frac{1}{l}\right]}\)?
Mi się wydaje teraz, że dla \(\displaystyle{ F=f_n-f_m}\) jest \(\displaystyle{ A_{n,m,l}=F^{-1}\left[\left[-\frac{1}{l},\frac{1}{l}\right]\right]}\)
To literówka?
Poza tym dzięki, wszystko załapałem.
Właściwie dokładnie tak powinienem był na to spojrzeć: przeciwobraz zb. domkniętego przez f. ciągłą, szczególnie że rozumiałem, że \(\displaystyle{ f_n, f_m}\) dla ustalonego zb. \(\displaystyle{ A_{n,m,l}}\) są ustalonymi funkcjami, czyl ich różnica jadną f. ciągłą Zaćmienie jakich mam wiele :C
Mi się wydaje teraz, że dla \(\displaystyle{ F=f_n-f_m}\) jest \(\displaystyle{ A_{n,m,l}=F^{-1}\left[\left[-\frac{1}{l},\frac{1}{l}\right]\right]}\)
To literówka?
Poza tym dzięki, wszystko załapałem.
Właściwie dokładnie tak powinienem był na to spojrzeć: przeciwobraz zb. domkniętego przez f. ciągłą, szczególnie że rozumiałem, że \(\displaystyle{ f_n, f_m}\) dla ustalonego zb. \(\displaystyle{ A_{n,m,l}}\) są ustalonymi funkcjami, czyl ich różnica jadną f. ciągłą Zaćmienie jakich mam wiele :C
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
Zauważ, że Dasio11 użył modułu różnicy funkcji, a nie różnicy funkcji. Dla \(\displaystyle{ G=\left| f_n-f_m\right|}\) fakt, że \(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR : |f_n(x) - f_m(x)| \le \frac{1}{l} \right\}=G^{-1}\left[ \left(-\infty, \frac{1}{l}\right]\right] }\) wynika wprost z rozpisania z definicji przeciwobrazu, czym jest \(\displaystyle{ G^{-1}\left[ \left(-\infty, \frac{1}{l}\right]\right] }\).Zaratustra pisze: ↑7 kwie 2020, o 11:47A dlaczego przeciwobrazem \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1}{l} \right]}\) a nie \(\displaystyle{ \left[-\frac{1}{l},\frac{1}{l}\right]}\)?
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
Jest wiele możliwości - opisany zbiór jest zarówno przeciwobrazem zbioru \(( -\infty, \frac{1}{l} ]\) przez funkcję \( |f_n - f_m| \), jak też przeciwobrazem zbioru \( [-\frac{1}{l}, \frac{1}{l}] \) przez funkcję \( f_n - f_m \), a także przeciwobrazem zbioru \( [-\frac{1}{l}, \frac{1}{l}] \) lub \( [0, \frac{1}{l}] \) przez funkcję \( |f_n - f_m| \).Zaratustra pisze: ↑7 kwie 2020, o 11:47 A dlaczego przeciwobrazem \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac{1}{l} \right]}\) a nie \(\displaystyle{ \left[-\frac{1}{l},\frac{1}{l}\right]}\)?
Mi się wydaje teraz, że dla \(\displaystyle{ F=f_n-f_m}\) jest \(\displaystyle{ A_{n,m,l}=F^{-1}\left[\left[-\frac{1}{l},\frac{1}{l}\right]\right]}\)
Ja wybrałem to pierwsze przedstawienie z uwagi na jego uniwersalność: warunek \( g(x) \le b \) zawsze można zapisać jako \( g(x) \in (-\infty, b] \), natomiast inne równoważne przedstawienia wymagają już wglądu w postać funkcji \( g \).
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
Ach dobrze, dzięki wam obu. Ja musiałem sobie powoli rozłożyć w głowie tak:
\(\displaystyle{ |f|^{-1}\left[(-\infty,b]\right]=\{x\colon -\infty<|f(x)|\leq b\}=\ldots}\)
1.\(\displaystyle{ -\infty<|f(x)|}\) pociąga: \(\displaystyle{ f(x)>-\infty}\) albo \(\displaystyle{ f(x)<\infty}\) - oczywiste dla każd. f. na zb. \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
2. \(\displaystyle{ |f(x)|\leq b}\) pociąga \(\displaystyle{ -b\leq f(x)\leq b\}}\)
\(\displaystyle{ \ldots=\{x\colon -b\leq f(x)\leq b\}=f^{-1}\left[[-b,b]\right]}\). A f. ciągła w moim przykładzie była właśnie modułem innej f. ciągłej (różnicy f. ciągłych). Już rozumiem ^^
\(\displaystyle{ |f|^{-1}\left[(-\infty,b]\right]=\{x\colon -\infty<|f(x)|\leq b\}=\ldots}\)
1.\(\displaystyle{ -\infty<|f(x)|}\) pociąga: \(\displaystyle{ f(x)>-\infty}\) albo \(\displaystyle{ f(x)<\infty}\) - oczywiste dla każd. f. na zb. \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
2. \(\displaystyle{ |f(x)|\leq b}\) pociąga \(\displaystyle{ -b\leq f(x)\leq b\}}\)
\(\displaystyle{ \ldots=\{x\colon -b\leq f(x)\leq b\}=f^{-1}\left[[-b,b]\right]}\). A f. ciągła w moim przykładzie była właśnie modułem innej f. ciągłej (różnicy f. ciągłych). Już rozumiem ^^
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
Tu to lekko przesadziłeś. Przecież to \(\displaystyle{ -\infty<|f(x)|}\) jest trywialnie prawdziwe bez żadnych rozważań, tak naprawdę ten napis ma pustą treść.Zaratustra pisze: ↑7 kwie 2020, o 13:41 1.\(\displaystyle{ -\infty<|f(x)|}\) pociąga: \(\displaystyle{ f(x)>-\infty}\) albo \(\displaystyle{ f(x)<\infty}\) - oczywiste dla każd. f. na zb. \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
Poza tym dwa razy użyłeś sformułowania "pociąga", np. w
To nie jest dobre sformułowanie, bo oznacza wniosek w rozpatrywanego warunku, a Ty potrzebujesz jego równoważnej wersji (niecelowe pomylenie równoważności z implikacją). Równie dobrze można by było napisać "\(\displaystyle{ |f(x)|\leq b}\) pociąga \(\displaystyle{ f(x)\leq b\}}\)".Zaratustra pisze: ↑7 kwie 2020, o 13:41 2. \(\displaystyle{ |f(x)|\leq b}\) pociąga \(\displaystyle{ -b\leq f(x)\leq b\}}\)
JK
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Funkcje ciągłe implikują, że podzbiór argumentów jest domknięty.
Co do pierwszego:
A za drugą uwagę dziękuję:
W każdym razie dzięki za cierpliwość raz jeszcze ^^
No jest, jest, ale w sumie całe moje pytanie jak by nie było jest Jak się wpędzę w wątpliwości bo w czegoś prostego nie umiem od razu uzasadnić, to lekko... panikuję próbuję wszystko jakoś arytmetycznie być w stanie zapisać, jakby to miało w czymś pomóc Szczerze to już byłem w trakcie edycji posta, bo też do mnie dotarło, że przekombinowałemJan Kraszewski pisze: ↑7 kwie 2020, o 13:58 Tu to lekko przesadziłeś. Przecież to \(\displaystyle{ -\infty<|f(x)|}\) jest trywialnie prawdziwe bez żadnych rozważań, tak naprawdę ten napis ma pustą treść.
A za drugą uwagę dziękuję:
to faktycznie nie powinienem tak tego napisać jak już to tak rozwlekłem to przynajmniej porządnie by wypadało.
W każdym razie dzięki za cierpliwość raz jeszcze ^^