Twierdzenie Rolle'a

[kaska1715]

Sprawdz czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle'a, na przedziale \(\displaystyle{ \left[-1,1\right] }\)
\(\displaystyle{ u\left( x\right) = \left| \sin \frac{ \pi \cdot x }{2} \right|}\)

Proszę o pomoc w zrobieniu zadania, pozdrawiam.

[a4karo]

Wsk: Spróbuj narysować wykres tej funkcji

[kaska1715]

już mam. Co dalej?

Dodano po 43 minutach 14 sekundach:
Czy ktoś mógłby pomóc? Naprawdę jest to dla mnie ważne

[janusz47]

Najpierw musimy sprawdzić, czy ta funkcja \(\displaystyle{ u }\) na podstawie Pani rysunku spełnia założenia Twierdzenia Rolle'a.

Musimy to napisać.

Jeśli tak, to mamy wykazać, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c\in [-1, 1 ],}\) że \(\displaystyle{ f'(c) = 0. }\)

Proszę obliczyć \(\displaystyle{ f'(x) }\)

Podstawić \(\displaystyle{ x = c.}\)

Skorzystać z nierówności, którą musi spełniać pierwsza pochodna.

[kaska1715]

dobrze, to w takim razie jeśli mam obliczyć pochodną to czy za \(\displaystyle{ \pi }\) podstawić 3,14? I jak w takim razie obliczyć pochodną wartość bezwzględną

[Janusz Tracz]

Najpierw musimy sprawdzić, czy ta funkcja \(\displaystyle{ u }\) na podstawie Pani rysunku spełnia założenia Twierdzenia Rolle'a.

Według mnie rysunek był tylko pomocniczy i maił wskazać czy będziemy się kierować ku stwierdzeniu, że założenia są spełniane czy nie są spełnione. Poza tym na podstawie rysunku nie można udowodnić za wiele.

Jeśli tak, to mamy wykazać, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c\in [-1, 1 ],}\) że \(\displaystyle{ f'(c) = 0. }\)

Jeśli warunki są spełnione (przypominam, że to o nie pytamy w zadaniu) to nie musimy wyliczać takiego \(\displaystyle{ c}\) jeśli go nie potrzebujemy. Jeśli są spełnione to po prostu wiemy, że takie \(\displaystyle{ c}\) istnieje. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe istnieją wszak funkcję których pochodne się gdzieś wyzeruje a założeń tw. nie spełnią zatem co ma na celu rozwiązywanie równości \(\displaystyle{ f'(c)=0}\)?

Zatem, wskazówka ode mnie jest tak: Jak masz już rysunek to przyjrzyj się jak ta funkcja wygląda w okolicach zera. Jest tam ostry szpic co to oznacza? Czego w takim razie nie zapewniamy na przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,1\right) }\)?

EDIT: literówka.

[kaska1715]

Przepraszam, ale jestem bardzo kiepska z Analizy. Jest to przedmiot przez który muszę "przebrnąć" na pierwszym roku studiów. Żadna podpowiedz nic mi nie mówi co powinnam zrobić w tym zadaniu
Dlatego proszę o wielką pomoc :/

[Janusz Tracz]

Dodam, że policzenie pochodnej nie jest złym pomysłem. Wyzerowanie się pochodnej w jakimś punkcie jest warunkiem koniecznym spełnienia założeń ale nie jest to warunek wystarczający (tu nawet warunek konieczny nie jest spełniony ale to nie zadziała zawsze).

Żadna podpowiedz nic mi nie mówi co powinnam zrobić w tym zadaniu

Wymień zatem proszę założenia twierdzenia Rolle’a. Sprawdzimy po kolei czy są one spełnione.

[a4karo]

Janusz47 trochę myli: w zadaniu masz sprawdzić, czy spełnione są założenia, między innymi masz sprawdzić, czy funkcja jest różniczkowalna wewnątrz przedziału.
Rysunek miał Ci zasugerować że tak nie jest. Czy wiesz dlaczego>

W żadnym wypadku nie możesz przyjąć, że `\pi=3.14`

[kaska1715]

Niestety ale tak jak napisałam wyżej nic nie rozumiem z tego zadania, a muszę go niestety zaliczyć narysowałam wykres ale niestety nic więcej

[kmarciniak1]

Niestety ale tak jak napisałam wyżej nic nie rozumiem z tego zadania, a muszę go niestety zaliczyć narysowałam wykres ale niestety nic więcej

Co ty studiujesz w takim razie, że analize masz tylko do odhaczenia?

[kaska1715]

Systemy Diagnostyczne - Analiza Matematyczna tylko na 1 roku.

[a4karo]

Z opisu kierunku:
Absolwent kierunku Systemy diagnostyczne w medycynie zdobędzie m.in umiejętności:
- znajomość podstaw fizycznych działania różnych rodzajów aparatury medycznej;
- umiejętność korzystania z nowoczesnej aparatury pomiarowej i medycznych systemów diagnostycznych;
- umiejętność przeprowadzania i interpretacji podstawowych analiz statystycznych wykorzystywanych w naukach biomedycznych;
- znajomość podstaw analizy sygnałów i obrazów w naukach medycznych i fizycznych.

Myślę, że tu bez podstaw analizy nie dasz rady, więc jednak spróbuj się czegoś nauczyć

[janusz47]

Twierdzenie Rolle'a

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła w przedziale domkniętym \(\displaystyle{ [a, b] }\) i ma pochodną we wszystkich punktach jego wewnętrznych oraz \(\displaystyle{ f(a) = f(b) }\), to istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c\in (a, b ), }\) że \(\displaystyle{ f'(c) = 0.}\)

Interpretacja fizyczna tego twierdzenia (pochodząca od Pana dr Michała Krycha) może być na przykład taka: po prostoliniowym torze porusza się pojazd, który rozpoczyna i kończy przemieszczanie się w tym samym punkcie \(\displaystyle{ f(a) = f(b) }\) , ponieważ kończymy podróż w punkcie startu, więc w którymś punkcie musieliśmy zawrócić, w momencie zmiany kierunku jazdy nasza prędkość była równa zeru.

Jak podpowiedział Pan Janusz Tracz, podejrzanym punktem istnienia pochodnej funkcji jest punkt \(\displaystyle{ 0\in (-1, 1). }\)

Pochodna funkcji \(\displaystyle{ u }\) punkcie \(\displaystyle{ 0 }\) nie istnieje (wykres funkcji ma "pik"), bo pochodne jednostronne funkcji w tym punkcie

\(\displaystyle{ u^{'}_{0-}(0) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{\left|\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)\right|}{h} = -\frac{\pi}{2} }\)

\(\displaystyle{ u^{'}_{0+}(0) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\left|\sin\left(\frac{\pi h}{2} \right)\right|}{h} = \frac{\pi}{2} }\)

przyjmują różne wartości.

Jaki stąd wniosek, czy funkcja \(\displaystyle{ u }\) spełnia założenia twierdzenia Rolle'a?