Dlaczego ta funkcja nie ma granicy ?

[CwaniakzPKSU]

Jak w temacie. Dlaczego pochodna funkcji \(\ f(x) = \arcsin(\sin x) \) nie istnieje w punktach \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi k = \pm1, \pm2...}\)

[Premislav]

Ponieważ funkcja wewnętrzna jest okresową o okresie głównym \(\displaystyle{ 2\pi}\), więc wystarczy sprawdzić nieistnienie tej pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=\frac{\pi}{2}}\)
Z definicji byłoby to \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}+h\right)\right)-\arcsin\left(\sin \frac{\pi}{2}\right)}{h}}\)
Należy więc wykazać, że ta granica nie istnieje.
Oczywiście \(\displaystyle{ \arcsin\left(\sin \frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}}\). Dobierzmy dwa ciągi, przy czym jeden dążący do zera po wartościach ujemnych, a drugi po dodatnich, na przykład \(\displaystyle{ a_{n}=-\frac{1}{n}, \ b_{n}=\frac{1}{n}}\).
Mamy
\(\displaystyle{ \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\), wszakże
\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\le \frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}\le \frac{\pi}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,\ldots}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}}\), a to dlatego, że mamy tożsamość \(\displaystyle{ \sin(\pi-x)=\sin x}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}\right)\right)-\frac{\pi}{2}}{-\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}-\frac{\pi}{2}}{-\frac{1}{n}}=1}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right)-\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}-\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{n}}=-1}\)
Granice dla tych podciągów są różne, więc z uwagi na definicję Heinego granicy funkcji w punkcie istnienie granicy jest wykluczone, czyli pochodna (która jest właśnie z definicji tą granicą ilorazu różnicowego) nie istnieje.

[a4karo]

A jak sobie narysujesz wykres, to zobaczysz, że wykresem jest piła. A piłą się można pokaleczyć. A funkcją różniczkowalną nie