Ciągłość i okresowość oraz równ. f(g(x))=f(x)

[Zaratustra]

Niech: \(\displaystyle{ f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) - f. ciągła, okresowa oraz \(\displaystyle{ g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) - f. ciągła.
Teza: istnieje \(\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ f\left(g(x_0)\right)=f(x_0)}\)

Wygląda na „ćwiczonko” a mnie sfrustrowało. Naprowadzi ktoś?

Moje próby... czy obserwacje, w sumie nic sensownego:

Ukryta treść:    

Ustaliłem sobie jakiś okres \(\displaystyle{ T}\), przyjmowałem \(\displaystyle{ F(x)=f(g(x))-f(x)}\). Na rezultat \(\displaystyle{ F(x)=0}\) z Darboux tu nie liczę, ale w różne dziwne równania próbowałem zestawiać. Rozważać odcinki \(\displaystyle{ [0,T]}\) i zachowanie funkcji, jakoś przejść gdzieś (z ciągłości) do granicy... no nic.
Z ciągłości, muszą istnieć \(\displaystyle{ y\in\mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ g(y)=T}\) albo \(\displaystyle{ g(y)=0}\) i różne takie, ale żaden nie zadziała jak nie jest punktem stałym \(\displaystyle{ g}\), chyba że to się da jakoś w jakieś równanie zestawić albo coś...
Z ciągłości jest takie \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f(g(x))=0}\) a \(\displaystyle{ 0=f(T)}\) ale co z tego - niekoniecznie \(\displaystyle{ g(x)=T}\), no nie?

...właściwie zacząłem czuć w tej chwili jakby to w ogóle nie zachodziło Najgorsza sytuacja.

[Dasio11]

Hint:    

\(\displaystyle{ f}\) osiąga wartość najmniejszą i największą.

[Zaratustra]

Oh, dzięki Dasio11! Najgorsze uczucie - oczywista wskazówka ale póki nie podpowiedziałeś, to do głowy mi nie wskoczyło