Asymptoty wykresu funkcji a granice

[nice1233]

Wyznacz wszystkie asymptoty skośne funckji f(x): \(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}\frac1{x^2+1}&gdy&\left|x\right|\leq4\end{array}\\\begin{array}{ccc}\frac{2\vert x\vert}{x^2+x+5}&gdy&\left|x\right|>4\end{array}\end{array}\right.}\)

Zapisuje sobie tak tą funckję:

\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}\frac1{x^2+1}&gdy&\left|x\right|\leq4\end{array}\\\begin{array}{ccc}\frac{2\vert x\vert}{x^2+x+5}&gdy&\left|x\right|>4\end{array}\end{array}=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}\frac{-2x}{x^2+x+5}&gdy&x\in\left(-\infty;-4\right)\end{array}\\\begin{array}{ccc}\frac1{x^2+1}&gdy&x\in(-4;4)\end{array}\\\begin{array}{ccc}\frac{2x}{x^2+x+5}&gdy&x\in\left(4;+\infty\right)\end{array}\end{array}\right.\right.}\)

I przypadek

gdy \(\displaystyle{ x<4}\) wówczas korzystam z przepisu \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-2x}{x^2+x+5}}\)

Zauważam, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{W(x)}{V(x)}}\) jest funkcją wymierną.

Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) oraz \(\displaystyle{ V(x)}\) są wielomianami niezerowym, gdzie \(\displaystyle{ W(x)=-2x}\) oraz \(\displaystyle{ V(x)=x^2+x+5}\).

Odczytujemy stopnie wielomianów W oraz V: st.[W(x)] = 1 oraz st.[V(x)] = 2

Korzystam z informacji, że:
wykres funkcji f ma asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(\displaystyle{ y = 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ st.[W(x)] < st.[V(x)]}\)

Skoro wiemy, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej.
Więc jeśli znajdziemy asymptotę poziomą w \(\displaystyle{ -\infty }\) , to nie szukam w \(\displaystyle{ -\infty }\), asymptoty ukośnej.

Czyli mamy jedną asymptotę obustronną \(\displaystyle{ y = 0}\).

II przypadek

gdy \(\displaystyle{ -4<x<4}\) wówczas korzystam z przepisu \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x^2+6} }\)

Zauważam, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{W(x)}{V(x)}}\) jest funkcją wymierną.

Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) oraz \(\displaystyle{ V(x)}\) są wielomianami niezerowym, gdzie \(\displaystyle{ W(x)=1}\) oraz \(\displaystyle{ V(x)=x^2+6}\).

Odczytujemy stopnie wielomianów W oraz V: st.[W(x)] = 0 oraz st.[V(x)] = 2

Korzystam z informacji, że:
wykres funkcji f ma asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(\displaystyle{ y = 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ st.[W(x)] < st.[V(x)]}\)

Skoro wiemy, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej.
Czyli mamy jedną asymptotę obustronną \(\displaystyle{ y = 0}\).


III przypadek

gdy \(\displaystyle{ x > 4}\) wówczas korzystam z przepisu \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x}{x^2+x+5}}\)

Zauważam, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{W(x)}{V(x)}}\) jest funkcją wymierną.

Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) oraz \(\displaystyle{ V(x)}\) są wielomianami niezerowym, gdzie \(\displaystyle{ W(x)=2x}\) oraz \(\displaystyle{ V(x)=x^2+x+5}\).

Odczytujemy stopnie wielomianów W oraz V: st.[W(x)] = 1 oraz st.[V(x)] = 2

Korzystam z informacji, że:
wykres funkcji f ma asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(\displaystyle{ y = 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ st.[W(x)] < st.[V(x)]}\)

Skoro wiemy, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej.
Więc jeśli znajdziemy asymptotę poziomą w \(\displaystyle{ +\infty }\) , to nie szukam w \(\displaystyle{ +\infty }\), asymptoty ukośnej.

Czyli mamy jedną asymptotę obustronną \(\displaystyle{ y = 0}\).

Odpowiedź: Funkcja f(x) ma jedną asymptotę obustronną o równaniu y = 0.

Pytanie czy dobrze to zapisałem/rozwiązałem. Jeśli nie zapisałem czegość lub niesprawdziwem to proszę mi napisać. Z góry dziękuję.
Zataniawia mnie to ponieważ, otrzymałem w tych trzech przypadkach otrzymałem 3 takie samame asymptoty.

[JHN]

Stosując Twoją notację:
1. przypadek: ponieważ \(\displaystyle{ x\in (-\infty;\ -4)}\), to \(\displaystyle{ y=0}\) jest asymptotą l-stronną
2. przypadek: \(\displaystyle{ x\in [-4;\ 4]}\) i asymptot brak
3. przypadek: ponieważ \(\displaystyle{ x\in (-4;\ +\infty)}\), to \(\displaystyle{ y=0}\) jest asymptotą r-stronną
Ostatecznie \(\displaystyle{ y=0}\) jest asymptotą obustronną wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)}\)

Pozdrawiam