Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań. Jeśli to możliwe to prosiłbym o jakieś wyjaśnienia co do tych zadań. Z góry dziękuję.
\(\displaystyle{ 1) \lim_{n\to }\left(\frac{n-1}{n}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ 2) \lim_{n\to }\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ 3) \lim_{n\to }\left(\frac{n^2+4}{n^2}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ 4) \lim_{n\to }\left(\frac{n^2+n+1}{n^2}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ 5) \lim_{n\to }\left(1-\frac{n}{n^2+1}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ 6) \lim_{n\to }\left(1+\frac{n}{n+2}\right)^n}\)
Kilka zadań z granicami
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Kilka zadań z granicami
Wszystko ogranicza się tu do zabawy z liczbą e.
Zapamiętaj, że jeśli
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}} 0}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{a_{n}+1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}=e}\) dla przykładu:
1)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}= \lim_{n\to }((1-\frac{1}{n})^{-n})^{-1}=e^{-1}}\)
Zapamiętaj, że jeśli
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}} 0}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{a_{n}+1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}=e}\) dla przykładu:
1)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}= \lim_{n\to }((1-\frac{1}{n})^{-n})^{-1}=e^{-1}}\)
Ostatnio zmieniony 13 paź 2007, o 20:17 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Kilka zadań z granicami
1)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n-1}{n}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(\frac{n}{n}-\frac{1}{n}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(1+\frac{-1}{n}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{-1}{n}\right)^{-n}\right)^{-1} =e^{-1}=\frac{1}{e}}\)
2)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{-1}{n^2}\right)^{-n^2}\right) ^{-\frac{1}{n}}=e^{0}=1}\)
3)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n^2+4}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(1+\frac{4}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{4}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{4}}\right)^{\frac{4}{n}} =e^{0}=1}\)
4)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n^2+n+1}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}\right)^{\frac{n+1}{n}} =e^1=e}\)
5)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(1-\frac{n}{n^2+1}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(
ft(1+\frac{-n}{n^2+1}\right)^{\frac{-n^2+1}{n}}
\right)^{\frac{-n^2}{n^2+1}} =e^{-1}=\frac{1}{e}}\)
6)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(1+\frac{n}{n+2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(
ft(1+\frac{n}{n+2}\right)^{\frac{n+2}{n}}
\right)^{\frac{n^2}{n+2}} =e^{+\infty}=+\infty}\)
POZDRO
\lim_{n\to }\left(\frac{n}{n}-\frac{1}{n}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(1+\frac{-1}{n}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{-1}{n}\right)^{-n}\right)^{-1} =e^{-1}=\frac{1}{e}}\)
2)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{-1}{n^2}\right)^{-n^2}\right) ^{-\frac{1}{n}}=e^{0}=1}\)
3)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n^2+4}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(1+\frac{4}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{4}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{4}}\right)^{\frac{4}{n}} =e^{0}=1}\)
4)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n^2+n+1}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}\right)^{\frac{n+1}{n}} =e^1=e}\)
5)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(1-\frac{n}{n^2+1}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(
ft(1+\frac{-n}{n^2+1}\right)^{\frac{-n^2+1}{n}}
\right)^{\frac{-n^2}{n^2+1}} =e^{-1}=\frac{1}{e}}\)
6)\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(1+\frac{n}{n+2}\right)^n =
\lim_{n\to }\left(
ft(1+\frac{n}{n+2}\right)^{\frac{n+2}{n}}
\right)^{\frac{n^2}{n+2}} =e^{+\infty}=+\infty}\)
POZDRO