Oblicz granicę funkcji

[favorite01997]

Witam wszystkich!
Mam problem z obliczeniem granicy funkcji: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } }\)

Wpisując powyższy przykład w WolframAlpha otrzymuję wynik: granica lewostronna: \(\displaystyle{ -\infty }\) i granica prawostronna: \(\displaystyle{ 0}\).
Zupełnie nie rozumiem tych odpowiedzi, ponieważ wykorzystując regułę de l'Hospitala otrzymuję granicę wynoszącą \(\displaystyle{ -1}\).

Tak obliczam powyższy przykład z de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to0 } \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{-1}{1-x} = -1 }\)

[kerajs]

Tak obliczam powyższy przykład z de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to0 } \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{-1}{1-x} = -1 }\)

Dobrze.

Może jeśli podasz link do wyników Wolframa, to ktoś wyjaśni wskazane przez Ciebie rozbieżności.

[Jan Kraszewski]

Być może nieświadomie zapytałeś Wolframa o coś innego.

JK

[favorite01997]

Faktycznie, źle zapisałem w Wolframie.
Serdecznie dziękuję za pomoc.

[sdd1975]

Tak obliczam powyższy przykład z de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to0 } \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{-1}{1-x} = -1 }\)

Dobrze.

Może jeśli podasz link do wyników Wolframa, to ktoś wyjaśni wskazane przez Ciebie rozbieżności.

To jakaś bzdura. Jakim prawem zastępujesz potęgowanie dzieleniem?

Wyrażenie jest wyrażeniem typu \(\displaystyle{ \left[ 1^{\infty} \right] }\) a na takowe reguła de L'Hospitale'a nie działa. Musisz je sprowadzić w sposób prawidłowy do wyrażenia typu \(\displaystyle{ \left[ \frac {0}{0} \right] }\) albo \(\displaystyle{ \left[ \frac {\infty} {\infty} \right] }\)

A Ty tego na pewno w sposób prawidłowy nie zrobiłeś.

[Jan Kraszewski]

To jakaś bzdura. Jakim prawem zastępujesz potęgowanie dzieleniem?

Dość podstawowym prawem: \(\displaystyle{ \ln(b^c)=c\ln b.}\)

Zanim zarzucisz komuś pisanie bzdur warto się chwilę zastanowić.

JK

[janusz47]

Drugi sposób (bez wykorzystania reguły de'Hospitala)

Korzystamy z wartości granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(1 - x\right)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} }\) i ciągłości funkcji \(\displaystyle{ \ln(x), }\)

\(\displaystyle{ \ln(e^{-1}) = -1. }\)